【中学生の数学│難問】１次関数：グラフの難しい問題
この記事は受験対策のための中学３年生向けの記事になっています。
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１次関数の難問 【グラフの問題】
今回の問題は（１）基本問題、
（２）① 発展問題、
（２）② 難問 となっています。
高校受験対策の中学３年生向けですが、３年生じゃないと解けない問題は最後の１問だけになっていますので、１次関数を学んだ中学２年生も（２）①までチャレンジしてみましょう。
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問題【１次関数】
制限時間：10分
このとき，次の問いに答えなさい。（１）直線 $ l $ の式を求めなさい。（２）Aを出発点とし，直線 $ l，n $ 上を Ａ→Ｃ→Ｂ の順にＡからＢまで動く点をＰとする。また，Ｐを通り $ y $ 軸に平行な直線と直線 $ m $ との交点をＱとし，△APQ の面積をＳとする。
① 点Ｐの $ x $ 座標が －１ のとき，Ｓの値を求めなさい。
② Ｓ＝ $ \frac{5}{2} $ となる点Ｐの$ x $座標をすべて求めなさい。
自分で問題に取り組んでからこの先を読み進めましょう！
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問題の解説【１次関数】
中学生が難しいと思う問題の特徴の一つでもあるのですが、問題の文が長くて、それだけで難しい問題！と感じてしまう人も多いようです。実際のところこの問題は、（２）の ② はやや難しいと思いますが、その他は難しくありませんので、問題文を読み解いて答えを導き出しましょう！
難しい問題だと感じるときの要因の一つとして、『情報量の多さ』というものがあります。
その問題は下の図のように，グラフの中に情報をまとめることで解消されますので、『直線の式』や『交点の座標』などを求めてグラフの中に書き込んでいきましょう！
※上の赤文字はほぼ問題の文章に書いてあります。点Bの座標だけ直線mと直線ｎの式を連立方程式として解いて求めました。
※座標の求め方がわからない場合は『座標の求め方』で復習しておきましょう！
（１）の解説
直線 $ l $ の式を求めるので、点ＡとＣの座標を使います。
ａ＝ $ \frac{6}{2} $ ＝3
b は点Ｃの座標がわかっていますのでそのまま使います。
直線 $ l $ の式 $ y=3x+7 $
※この基本的な内容が分からない時には、詳しく説明している『一次関数の式の求め方』で理解しておくようにしましょう！←ココ本当に重要な部分です。
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（２）①の解説
まずは、下の図のように点ＰとＱをグラフの中に書き込んでみましょう！
どんな三角形になって、どこを底辺にすればよいのか、なんの数値が分かれば面積が求められるのかを考えましょう。
今回の場合は、下の図のように、辺PQ を底辺とし、点Ａまでを高さとして考えるのが一番ラクでしょう。
その場合、点ＰとＱの座標が必要となりますので、それぞれの式に『 $ x=-1 $ 』を代入して求めておきます。
このようにすれば、△APQ の面積（Ｓ）もスグに求められると思います。
底辺(辺ＰＱ)＝４－$ \frac{3}{2} $ ＝ $ \frac{5}{2} $
高さ＝－１－(－２)＝１
面積Ｓ＝$ \frac{5}{2} $×１×$ \frac{1}{2} $
＝$ \frac{5}{4} $
もしココまでで出来なかった人は、基礎基本の見直しをしておきましょう！
基礎基本て、本当に重要なんですよ！
（２）②の解説
Ｓ＝ $ \frac{5}{2} $ となる点Ｐの ｘ座標をすべて求めなさい‥「ｘ座標をすべて求めなさい」という場合、ほとんどの場合は２つ以上の答えが考えられます。この問題の場合も、下の図のように、
辺AC上に１点、辺CB上に１点‥というように２つの答えが考えられます。
三角形の面積が
$ \frac{5}{2} $ となる点Ｐを探すので、底辺と高さの文字式を使って、１次方程式か２次方程式で表すことができれば答えを求めることができます。
まず、辺AC上に点Pがある場合を考えてみましょう！
点Pが辺AC上にある場合、点Pは $ y=3x+7 $ の式で値が変化し、点Qは $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x+2 $ の式を使います。前の問題と同じように、辺PQを底辺とすると、
高さ＝ｔ-(-2)＝t+2
底辺＝ ($ 3t+7 $)-($ \frac{1}{2} $$ t+2 $)
となります。この式を整理して、
底辺＝$ \frac{5}{2} $$ t+5 $
(底辺 $ \frac{5}{2} $$ t+5 $)×(高さ $ t+2 $ )× $ \frac{1}{2} $ = $ \frac{5}{2} $
この２次方程式を解くと、$ t=-2 $±$\sqrt{ 2 }$ ですが、辺AC上(－２＜ｔ＜０)ですので、$ t=-2 $+$\sqrt{ 2 }$ となります。
同じように、辺CB上に点Pがある場合を考えてみましょう！
点Pが辺CB上にある場合、点Pは $ y=-2x+7 $ の式で値が変化し、点Qは上となじく $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x+2 $ の式を使います。辺PQを底辺とすると、
高さ＝ｔ-(-2)＝t+2
底辺＝ ($ -2t+7 $)-($ \frac{1}{2} $$ t+2 $)
となります。この式を整理すると、
底辺＝$ -\frac{5}{2} $$ t+5 $
S＝ $ -\frac{1}{2} $ ($ -\frac{5}{2} $$ t+5 $)(t+2) = $ \frac{5}{2} $
この２次方程式を解くと$ t= $±$\sqrt{ 2 }$
点Ｐは辺CB上の点なので 0＜ｔ＜2 ですから、$ t= $$\sqrt{ 2 }$ ということになります。
（２）② 答え
$-2+\sqrt{ 2 }$ , $\sqrt{ 2 }$
ただし、制限時間を10分にすると難易度は結構高いかもしれませんね^^;
時間をかければできるのは当たり前ですが、受験やテストを見据えての学習でしたら、時間にもこだわってみてくださいね^^
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