【中学生の数学│難問】1次関数:グラフの難しい問題

今回は高校受験対策用の1次関数の問題です。2問目までは中学2年生でも解けますが、最後の問題は3年生向けの問題になっています。
この記事は受験対策のための中学3年生向けの記事になっています。

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1次関数の難問 【グラフの問題】

中学生の勉強のやり方

今回の問題は(1)基本問題、
(2)① 発展問題、
(2)② 難問 となっています。

高校受験対策の中学3年生向けですが、3年生じゃないと解けない問題は最後の1問だけになっていますので、1次関数を学んだ中学2年生も(2)①までチャレンジしてみましょう。

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問題【1次関数】

制限時間:10分

下の図のように,3直線 $ l , m , n $ があり,$ m , n $ の式はそれぞれ $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x+2 $ ,$ y=-2x+7 $ である。$ l と m $ との交点,$ m と n $ との交点,$ l と n $ との交点をそれぞれA,B,C とする。Aの座標は(-2,1)で,Cは $ y $ 軸上の点である。
このとき,次の問いに答えなさい。(1)直線 $ l $ の式を求めなさい。(2)Aを出発点とし,直線 $ l,n $ 上を A→C→B の順にAからBまで動く点をPとする。また,Pを通り $ y $ 軸に平行な直線と直線 $ m $ との交点をQとし,△APQ の面積をSとする。
① 点Pの $ x $ 座標が -1 のとき,Sの値を求めなさい。
② S= $ \frac{5}{2} $ となる点Pの$ x $座標をすべて求めなさい。1次関数の難問 難しい問題 グラフ
この先は解説と解答になります!
自分で問題に取り組んでからこの先を読み進めましょう!

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問題の解説【1次関数】

中学生が難しいと思う問題の特徴の一つでもあるのですが、問題の文が長くて、それだけで難しい問題!と感じてしまう人も多いようです。実際のところこの問題は、(2)の ② はやや難しいと思いますが、その他は難しくありませんので、問題文を読み解いて答えを導き出しましょう!

難しい問題だと感じるときの要因の一つとして、『情報量の多さ』というものがあります。
その問題は下の図のように,グラフの中に情報をまとめることで解消されますので、『直線の式』や『交点の座標』などを求めてグラフの中に書き込んでいきましょう!

中学生の数学【1次関数の難しい問題を解くために】

※上の赤文字はほぼ問題の文章に書いてあります。点Bの座標だけ直線mと直線nの式を連立方程式として解いて求めました。
※座標の求め方がわからない場合は『座標の求め方』で復習しておきましょう!

POINT情報量が多かったり、理解しにくい場合、その情報を視覚的にまとめる。一次関数の場合は、グラフの中にまとめる。
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(1)の解説

直線 $ l $ の式を求めるので、点AとCの座標を使います。
a= $ \frac{6}{2} $ =3
b は点Cの座標がわかっていますのでそのまま使います。
直線 $ l $ の式 $ y=3x+7 $

※この基本的な内容が分からない時には、詳しく説明している『一次関数の式の求め方』で理解しておくようにしましょう!←ココ本当に重要な部分です。

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(2)①の解説

まずは、下の図のように点PとQをグラフの中に書き込んでみましょう!
中学生の数学【1次関数の難しい問題を解くために】

どんな三角形になって、どこを底辺にすればよいのか、なんの数値が分かれば面積が求められるのかを考えましょう。
今回の場合は、下の図のように、辺PQ を底辺とし、点Aまでを高さとして考えるのが一番ラクでしょう。
その場合、点PとQの座標が必要となりますので、それぞれの式に『 $ x=-1 $ 』を代入して求めておきます。

1次関数の難しい問題 グラフ解説

このようにすれば、△APQ の面積(S)もスグに求められると思います。
底辺(辺PQ)=4-$ \frac{3}{2} $ = $ \frac{5}{2} $
高さ=-1-(-2)=1
面積S=$ \frac{5}{2} $×1×$ \frac{1}{2} $
=$ \frac{5}{4} $

ここまでは考え方さえわかっていれば、難易度は高くありませんね^^
もしココまでで出来なかった人は、基礎基本の見直しをしておきましょう!
基礎基本て、本当に重要なんですよ!

(2)②の解説

※この問題は、難易度が高い問題となっていますので、基本問題ができていない場合はこの問題ではなく、基礎基本の復習をしてからチャレンジすることをおススメします。

S= $ \frac{5}{2} $ となる点Pの x座標をすべて求めなさい‥「x座標をすべて求めなさい」という場合、ほとんどの場合は2つ以上の答えが考えられます。この問題の場合も、下の図のように、

辺AC上に1点、辺CB上に1点‥というように2つの答えが考えられます。

三角形の面積が $ \frac{5}{2} $ となる点Pを探すので、底辺と高さの文字式を使って、1次方程式か2次方程式で表すことができれば答えを求めることができます。

まず、辺AC上に点Pがある場合を考えてみましょう!

点Pが辺AC上にある場合、点Pは $ y=3x+7 $ の式で値が変化し、点Qは $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x+2 $ の式を使います。前の問題と同じように、辺PQを底辺とすると、
高さ=t-(-2)=t+2
底辺= ($ 3t+7 $)-($ \frac{1}{2} $$ t+2 $) 
となります。この式を整理して、
底辺=$ \frac{5}{2} $$ t+5 $

底辺の計算は、点Pのyの値から点Qのyの値を引いて求めています!

(底辺 $ \frac{5}{2} $$ t+5 $)×(高さ $ t+2 $ )× $ \frac{1}{2} $$ \frac{5}{2} $

この2次方程式を解くと、$ t=-2 $±$\sqrt{ 2 }$ ですが、辺AC上(-2<t<0)ですので、$ t=-2 $+$\sqrt{ 2 }$ となります。

同じように、辺CB上に点Pがある場合を考えてみましょう!

点Pが辺CB上にある場合、点Pは $ y=-2x+7 $ の式で値が変化し、点Qは上となじく $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x+2 $ の式を使います。辺PQを底辺とすると、
高さ=t-(-2)=t+2
底辺= ($ -2t+7 $)-($ \frac{1}{2} $$ t+2 $) 
となります。この式を整理すると、
底辺=$ -\frac{5}{2} $$ t+5 $

S= $ -\frac{1}{2} $ ($ -\frac{5}{2} $$ t+5 $)(t+2)$ \frac{5}{2} $
この2次方程式を解くと$ t= $±$\sqrt{ 2 }$

点Pは辺CB上の点なので 0<t<2 ですから、$ t= $$\sqrt{ 2 }$ ということになります。

(2)② 答え
$-2+\sqrt{ 2 }$ , $\sqrt{ 2 }$

今回の問題、難易度が高い問題‥とは言いましたが、実はそこまで高くはありません。
ただし、制限時間を10分にすると難易度は結構高いかもしれませんね^^;
時間をかければできるのは当たり前ですが、受験やテストを見据えての学習でしたら、時間にもこだわってみてくださいね^^

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