方程式の解き方・等式の性質【問題と解き方】

2021年2月16日2021年2月17日

この記事は「方程式の解き方」と「等式の性質を使った式の変形」について説明している中学生向けの記事です。
１次方程式の解き方や式の変形(aについて解きなさいという問題等)が苦手だと思っている人はシッカリ見直しておきましょう！

等式の性質とは

「方程式」や「式の変形」のおおもとになる考え方が「等式の性質」です。
等式の性質を覚えずに、解き方を覚えようとするから、解けなくなってしまう人が多いので、シッカリ理解していきましょう！

とはいえ、理解する内容はとってもカンタンです！

方程式は【左辺＝右辺】の形になっています。
問題の最初から【左辺＝右辺】になっているので、左辺と右辺に同じことをすればイコールの関係は続くということなんです。

下のA=Bならば‥というのは、１年生の時に１次方程式の授業で習ったと思います。
基本はコレが全てなのですが、分かりにくいと思ったら下を読んでみてくださいね！

A＝Bならば‥って言っても理解しにくいと思いますので、数字を入れてみましょう！

Aを８とすると、Bも８ですので、A＝Bの状態は、【８＝８】という事になります。
この状態だと、左辺と右辺を入れ替えても【８＝８】となるのはすぐに分かりますよね？

A＋C＝B＋C というのは、
８＝８の状態から、同じ数Ｃを足してもイコールの関係は続きます‥ということ。
Ｃを２とすると、８＋２＝８＋２ という式になります。
８＝８の状態から、10＝10 という式になりましたが、左辺イコール右辺の関係は続いていますよね？

A－C＝B－C というのは、
上と同じようにＣを２とすると、８＝８の状態から、８－２＝８－２ という式になります。
８＝８の状態から、６＝６ という式になった‥ということです。

 

上の図にも書いてありますが、数字は変わりるけど、左辺イコール右辺の関係を続けていくという考え方が重要なんです！

 

方程式 問題と解き方 

※下の図のように $ x=数字 $ の形にするために、左辺は $ x $ のエリア、右辺は数字のエリアと考えて問題を解いてみましょう！

 

方程式 例題１

【例題１】次の方程式を解きなさい。
$ 2x+7=13 $

【解き方】
$ 2x+7=13 $
まずは $ x= $ の形にしたいので、$ x $ だけ左辺に残すように、左辺の数字を０にします。
この問題の場合は[+7]が邪魔なので、[+7]に[-7]をして[0]にします。この時、上の等式の性質の考え方を使い左辺と同じ計算を右辺にもします。（下の式なら[-7]の部分）
$ 2x+7-7=13-7 $
$ 2x÷２=6÷２ $
$ 2x $ となっていますので、$ x $ の係数[2]を[1]にします。[1]にするためには、係数と同じ数で割るか逆数をかけると[1]になります。もちろん、左辺にすることは右辺にも同じ計算をします。（上の式なら[÷2]の部分）
$ x=3 $

 

方程式 例題２

【例題２】次の方程式を解きなさい。
$ 2x+12=-6x+4 $

【解き方】
$ -2x+12=-6x+4 $
この問題の場合は左辺の[+12]と右辺の[$ -6x $]が邪魔なので下のようにします。【$ -12+6x $】を追加。※両辺に同じ計算を追加するのがポイント。
$ -2x+12-12+6x=-6x+4-12+6x $
これをカンタンに書くと下のようになります。いきなり最初の式から下の式にするのが「移項」の考え方です。
$ -2x+6x=4-12 $
$ 4x=-8 $
$ x $ の係数を[1]にして[$ x= $]にするため、係数の逆数をかけるか係数と同じ数で割ります。【$ ÷4 $】を追加。
$ 4x÷4=-8÷4 $
$ x=-2 $

 

式の変形 問題と解き方

 

式の変形 例題

【例題】$ y=ax+b $ を $ a $ について解きなさい。 

【解き方】
１次関数の変化の割合(傾き)について求める問題です。

$ y=ax+b $
左辺と右辺を入れ替えても同じですので、考えやすいように左辺と右辺を入れ替えます。
$ ax+b=y $
$ a $ を含む項だけ左辺に残すために $ -b $ を追加します。※左辺と右辺に同じ式を追加しないとイコールの関係が崩れますので、両辺に $ -b $ を追加します。
$ ax+b-b=y-b $
$ ax=y-b $
$ ax $ の $ x $ を消すために逆数をかけるか同じ数( $ x $ )で割ります。
$ ax× $$ \frac{1}{x} $$ =(y-b)× $$ \frac{1}{x} $
$ a= $$ \frac{y-b}{x} $

 

 

まとめ

 

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