【中学生の数学│難問】空間図形の難しい問題

今回は中学3年生の受験対策問題で質問があった問題を解説していきます。
基礎基本がしっかりできている人はチャレンジしてみましょう!

中学3年生の受験対策用の問題と解説です。難易度はやや高めになっています。

空間図形の難問

難問と言っても難しいと感じるのは【2】(2) だけだと思いますので、【1】と【2】(1) は基礎の見直しだと思って解いてみましょう!

【問題】
下の図のような,1辺4cmで∠HEF=60°のひし形EFGHを底面とし,高さが6cmの四角柱について下の問いに答えなさい。

【1】線分EGの長さを求めなさい。
【2】辺BC,CDの中点をそれぞれP,Qとし,面PQHFと対角線AGとの交点をRとする。
 (1)線分ARと線分RGの長さの比を求めなさい。
 (2)線分RFの長さを求めなさい。

 

空間図形の難問 解答と解説

この問題の【1】と【2】の(1)が難しいと感じた人は、下の解説を読んでから、三平方の定理や相似な図形の基本問題をやり直し、自分が理解できているか確認しておくことをおススメします。

【1】の解説と解答

三平方の定理の問題です。

■基本的な考え方
△ABDと△CDBに分けて考えると考えやすいかもしれませんね。

△ABDと△CDBにわけると、どちらも正三角形になりますので、1:2:$\sqrt{ 3 }$ が使える‥というわけですね。

■計算方法
ACとBDの交点をOとすると、△ABDと△CDBの高さはそれぞれAO,COとなります。
そうすると、

AD:AO=2:$\sqrt{ 3 }$ ですので、
4:AO=2:$\sqrt{ 3 }$
AO=$2\sqrt{ 3 }$ となります。

COも同じ長さになりますので、ACの長さは、
$2\sqrt{ 3 }×2=4\sqrt{ 3 }$ となります。

 

【2】(1)の解説と解答

■基本的な考え方
PQ,FHの中点をM,Nとして下の図のように考えます。
難問の解説図1
AGとMNの交点がRとなります。

この図を見たら気付けると思いますが、△ARM∽△GRN です。
AM=$3\sqrt{ 3 }$
NG=$2\sqrt{ 3 }$ ですので、
△ARM:△GRN=3:2
AR:RGも3:2となります。

ココまでを考えるなら、この問題は比率だけの問題ですので、下の図のように平面図で考えても答えは同じになります。
※理解できる人だけ理解できればOK
難問の解説図2

 

【2】(2)の解説と解答

ACとBDの交点をO,PQ,FHの中点をM,Nとして解説をしていきます。

■基本的な考え方
△RNFは直角三角形なので、MNとRNの長さを求め、三平方の定理を使ってRFを求めていきます。

△ONMは直角三角形なので,
$MN^2=6^2+(\sqrt{ 3 })^2$
$MN=\sqrt{ 39 }$

【2】(1)より、MR:RN=3:2だから、
RN=$ \frac{2}{5} $MN となります。
MNは$\sqrt{ 39 }$ですから、
RN=$ \frac{2}{5} $$\sqrt{ 39 }$ となります。

ココまで出たら三平方の定理を使うだけです。

$ RF^2=RN^2+NF^2 $
もちろん RFは正の数ですので、
RF=$ \frac{16}{5} $ となります。

今回の問題はやや難しい問題ですので、基礎基本がしっかりできていないと理解できないと思います。この問題がキツイと思ったひとは、基礎基本をシッカリと見直しておきましょう!