【中学生の数学│難問】空間図形の難しい問題
基礎基本がしっかりできている人はチャレンジしてみましょう！
中学３年生の受験対策用の問題と解説です。難易度はやや高めになっています。
空間図形の難問
難問と言っても難しいと感じるのは【２】(２) だけだと思いますので、【１】と【２】(１) は基礎の見直しだと思って解いてみましょう！
下の図のような，１辺４cmで∠HEF＝60°のひし形EFGHを底面とし，高さが６cmの四角柱について下の問いに答えなさい。
【１】線分EGの長さを求めなさい。
【２】辺BC，CDの中点をそれぞれP，Qとし，面PQHFと対角線AGとの交点をRとする。
（１）線分ARと線分RGの長さの比を求めなさい。
（２）線分RFの長さを求めなさい。
空間図形の難問 解答と解説
【１】の解説と解答
三平方の定理の問題です。
■基本的な考え方
△ABDと△CDBに分けて考えると考えやすいかもしれませんね。
△ABDと△CDBにわけると、どちらも正三角形になりますので、１：２：$\sqrt{ 3 }$ が使える‥というわけですね。
■計算方法
ACとBDの交点をＯとすると、△ABDと△CDBの高さはそれぞれＡＯ，ＣＯとなります。
そうすると、
ＡＤ：ＡＯ＝２：$\sqrt{ 3 }$ ですので、
４：ＡＯ＝２：$\sqrt{ 3 }$
ＡＯ＝$2\sqrt{ 3 }$ となります。
ＣＯも同じ長さになりますので、ＡＣの長さは、
$2\sqrt{ 3 }×2＝4\sqrt{ 3 }$ となります。
【２】（１）の解説と解答
■基本的な考え方
PQ，FHの中点をM，Nとして下の図のように考えます。
AGとMNの交点がRとなります。
この図を見たら気付けると思いますが、△ARM∽△GRN です。
AM＝$3\sqrt{ 3 }$
NG＝$2\sqrt{ 3 }$ ですので、
△ARM：△GRN＝３：２
AR：RGも３：２となります。
ココまでを考えるなら、この問題は比率だけの問題ですので、下の図のように平面図で考えても答えは同じになります。
※理解できる人だけ理解できればOK
【２】（２）の解説と解答
ACとBDの交点をＯ，PQ，FHの中点をM，Nとして解説をしていきます。
■基本的な考え方
△RNFは直角三角形なので、MNとRNの長さを求め、三平方の定理を使ってRFを求めていきます。
△ONMは直角三角形なので，
$MN^2=6^2+(\sqrt{ 3 })^2$
$MN=\sqrt{ 39 }$
【２】（１）より、MR:RN=３：２だから、
RN=$ \frac{2}{5} $MN となります。
MNは$\sqrt{ 39 }$ですから、
RN=$ \frac{2}{5} $$\sqrt{ 39 }$ となります。
ココまで出たら三平方の定理を使うだけです。
$ RF^2=RN^2+NF^2 $
もちろん RFは正の数ですので、
RF＝$ \frac{16}{5} $ となります。