1次関数【１】１次関数の基礎・基本 ～中学２年生の数学～

2020年9月26日

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１次関数

１次関数とは、２つの変数 $ x $，$ y $ について、$ y $ が $ x $ の１次式で表されるとき、$ y $ は $ x $ の１次関数であると言います。

例えば‥水が５L入っている水槽に毎分４Lの水を入れると‥

５分間入れると、後から水槽に入れた水は（４L×５分間）で20Lですから、元々入っていた５Lと合わせて、水槽には２５Lの水が入っていることになります。

$ y＝4x+5 $ は $ y $ が $ x $ の１次式で表されていますので、$ y $ は $ x $ の１次関数になっています。
このように式で表すと $ x $ の値がきまれば $ y $ の値が分かる。もしくは逆に $ y $ の値がきまれば $ x $ の値が分かるようになります。

この計算自体はカンタンなものですが、何分入れたかわからない時や何リットル貯めるためには何分間入れればいいのかを知りたいときなどに、便利なのが１次関数の式です。

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１次関数の式

１次関数の式は $ y＝ax＋b $ で表されます。
上の例の $ y＝4x+5 $ でいうと４がａで５がｂということになります。

ａ は中学１年生の比例の時に『比例定数』と習ったものです。１次関数では『変化の割合』や『傾き』と言われますが、すべて同じ意味だと思っていて大丈夫です。
ｂは１次関数で新たに覚える言葉で、『切片（せっぺん）』といいます。

問題が解けない人の多くが「変数」や「変化の割合」、「切片」の理解が足りないことが多いので、それぞれの説明をしていきます。

定数・変数とは

変数はどんどん変わっていく数字のことだと思っておきましょう。
例えば、 $ y＝2x+3 $ という式では、
$ x $ が１なら $ y $ は２×１+３＝５ですし、
$ x $ が５なら $ y $ は２×５+３＝13です。
このようにどんどん変わっていく数字‥というように覚えておきましょう。

定数は変わらない数字のことで、$ y＝ax＋b $ ではａとｂが定数となります。
$ x $ と $ y $ は色々変わりますが、ａとｂは変わりません。

ａ 変化の割合・傾き

「変化の割合」とは、$ x $ が１増えた時に $ y $ がどれだけ増えるかを表した数字になります。
例えば、$ y＝2x+3 $ という式では、$ x $ が１増えた時 $ y $ は２増えます。

グラフで確認してみましょう。

緑のグラフが一番わかりやすいですね。
緑のグラフは変化の割合が「２」なので、$ x $ が１増えた時 $ y $ は２増えます。

青のグラフは、$ x $ が２増えた時 $ y $ は１増えます。
緑のグラフは、$ x $ が３増えた時 $ y $ は－１増えます。

変化の割合は、$ x $ が１増えた時に $ y $ がどれだけ増えるかを表した数字ですので、
$ 変化の割合＝\frac{y の増加量}{x の増加量} $ で求めることができます。

ｂ 切片（せっぺん）

１次関数での切片は $ x＝0 $ の時の $ y $ の値。グラフでは $ y $ 軸上の $ y $ の値ということになります。

$ y＝ax＋b $ をよく見てみましょう。
ｂは $ x $ が０(ゼロ)の時の $ y $ の値になります。

ａ（変化の割合）がどんな数字だったとしても、$ x $ が０(ゼロ)ならば、$ ax $ は「０」になります。
$ y＝ax＋b $ で $ x＝0 $ なら
$ y＝a×0＋b $
$ y＝b $　ということになります。

グラフで考えると、$ x＝0 $ というのは、$ y $ 軸上です。

どの式も切片の値が $ y $ 軸上の値になっていますよね！

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１次関数のグラフ

１次関数のグラフは１次関数の式 $ y＝ax＋b $ の $ x $ と $ y $ の値の変化を直線で表したものです。
線になっていますが、その線上であれば、どの位置でも $ x $ と $ y $ の値を知ることができます。

直線 $ y＝ax＋b $ のグラフは、ａ（傾き・変化の割合) が同じであれば、 $ y＝ax $ と並行であり、切片の分だけ平行移動することになります。切片の値が「＋３」ならば正の方向(上)に３、切片の値が「－３」ならば負の方向(下)に３移動した直線になります。

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【重要】絶対覚えておこう！

このページの内容は基礎・基本なのですべて重要なのですが、特に
この２点についてはシッカリと覚えておきましょう！３年生の関数でも使います。