【中2数学】確率 ~高校入試レベルの問題~
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中学2年生ができる問題を選びましたので、春休みの復習としてもチャレンジしてみましょう!
この記事は中学2年生で習う「確率」の問題と解説です。
確率の問題
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問題の難易度は変わらないようにしてありますので、頑張ってチャレンジしてくださいね^^
【1】矢を的AとBにそれぞれ1本だけ発射するとき、$ \frac{a+b}{3} $が整数になる確率を求めなさい。
【2】矢を的AとBにそれぞれ1本だけ発射するとき、$ \frac{2b-1}{a} $が整数にならない確率を求めなさい。
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【問題2】2つ箱A、Bがある。箱Aの中には1,2,3の数字が1つずつ書かれた3個の白球と、3、4の数字が書かれた2個の赤球が入っている。箱Bの中には4、5の数字が1つずつ書かれた2個の白球と、1、2の数字が書かれた2個の赤球が入っている。2つの箱は上から球を取り出せるようになっていて、どの球が取られることも同様に確からしいものとする。
【1】箱Aから球を一つだけ取り出すとき、その球が白である確率を求めなさい。
【2】箱Aと箱Bそれぞれから球を1個ずつ取り出すとき、球に書かれた数の和が6となる確率を求めなさい。
【3】箱Aと箱Bそれぞれから球を1個ずつ取り出すとき、取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数となる確率を求めなさい。
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もちろん、読解力があれば苦労せずに読み取れるのですが、読みとりが苦手な人は、問題文を何度か読み返し、問題の意味を理解できるようにしましょう!
※実際に、問題文の意味が理解できずに問題が解けない生徒が多いというのが実情です。そうなると「問題を解く」以前の問題になってしまいます。何が理解できないのか、深掘りして「分からない」や「できない」を解消しておきましょう。
問題を考えるヒント
今回のような問題の場合、文章だけだと考えることが難しいという人が多いと思います。
文章問題で考えにくい場合は下の図のようなものを書いてみましょう!
このような図を書くことで、考えやすくなります。
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書くことでその問題に集中できるというメリットもあります^^
問題の解説と解答
Check! 問題の解説や解答を読む前に、次のことをチェックしておきましょう!
□ 問題の意味は理解できましたか?
□ 考えやすくなるように、メモや図を書いてみましたか?
□ 自分なりに問題を解いてみましたか?
問題が解けないのは仕方ありませんが、まだ問題の意味が理解できなかったり、図が書けていない場合、もう少し自分で考えてみましょう。
「読み解く」や「考える力」を向上させるつもりで、あと5分くらい頑張ってみてくださいね!
ちなみに確率は $ \frac{その場合の通り数}{全通り数} $ です。
問題1の解説と解答
【1】矢を的AとBにそれぞれ1本だけ発射するとき、$ \frac{a+b}{3} $が整数になる確率を求めなさい。
上のヒントでも使った図を見てみましょう!
矢を的AとBにそれぞれ1本だけ発射するとき、Aが6通りあり、その6通りに対してBが4通りの組み合わせが考えられますので、全通り数は 6×4=24通り‥となります。
$ \frac{a+b}{3} $が整数になるのは、$ a+b $ が3の倍数のときなので、3の倍数になるのが何通りあるのかをかぞえていきます。
$ a+b $ が3の倍数になるのは、
的Aが1の場合、的Bが2の1通り
的Aが2の場合、的Bが1か4の2通り
的Aが3の場合、的Bが3の1通り
的Aが4の場合、的Bが2の1通り
的Aが5の場合、的Bが1か4の2通り
的Aが6の場合、的Bが3の1通り
・・・という8通りです。
$ \frac{8}{24} $=$ \frac{1}{3} $
ということで、【1】の解答は $ \frac{1}{3} $ ということになります。
【2】矢を的AとBにそれぞれ1本だけ発射するとき、$ \frac{2b-1}{a} $が整数にならない確率を求めなさい。
もう一度ヒントの図を見てみましょう。
$ \frac{2b-1}{a} $ に合わせて計算をしてみましょう。実はこの計算、整数になる組み合わせが非常に少ないことがすぐに分かると思います。
的Aが1の場合は、全て整数となります。(4通り)
その他の組み合わせで整数になるのはAが3でBが2の場合とAが5でBが3の2通りしかありません。
※Aが1のとき~Aが2のとき~Aが3のとき~‥と順序良く全ての組み合わせを考えてみましょう!
全24通り中、6通りが整数となるので、整数にならない組み合わせは18通りということになります。
$ \frac{18}{24} $=$ \frac{3}{4} $
ということで、【2】の解答は $ \frac{3}{4} $ ということになります。
このように、どちらの組み合わせを考えてもいい場合は。自分が考えやすい方をかぞえましょう!
問題2の解説と解答
私が問題2の内容をまとめると、下の図のようになります。
皆さんはどのようにまとめたでしょうか。
※考えやすくなれば良いので、まとめ方は自由です!
【1】箱Aから球を一つだけ取り出すとき、その球が白である確率を求めなさい。
【1】の問題は、基礎基本の問題ですね。
全ての通り数が5で、白の場合が3ですので、答えは $ \frac{3}{5} $ となります。
【2】箱Aと箱Bそれぞれから球を1個ずつ取り出すとき、球に書かれた数の和が6となる確率を求めなさい。
箱Aと箱Bそれぞれから球を1個ずつ取り出すので、全ての組み合わせは20通りとなります。
⇒ 箱A5通りに対し、箱Bの組み合わせがそれぞれ4通りなので、5×4=20通り
球に書かれた数の和が6となるのは、
箱Aが白1の場合、箱Bの数が4‥1通り
箱Aが白2の場合、6になる組み合わせナシ
箱Aが白3の場合、箱Bの数が2‥1通り
箱Aが赤3の場合、箱Bの数が2‥1通り
箱Aが赤4の場合、箱Bの数が1‥1通り
という組み合わせで、4通りということになります。
$ \frac{4}{20} $ というコトになりますので、答えは $ \frac{1}{5} $ となります。
【3】箱Aと箱Bそれぞれから球を1個ずつ取り出すとき、取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数となる確率を求めなさい。
上の図を見ながら、順番に考えていくと分かりやすいと思います。
取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数になる組み合わせは、
箱Aが白1の場合、箱Bが赤1‥1通り
箱Aが白2の場合、箱Bが赤2‥1通り
箱Aが白3の場合、箱Bが赤1‥1通り
箱Aが赤3の場合、箱Bが白5‥1通り
箱Aが赤4の場合、箱Bが白4‥1通り
という5通りということになります。
$ \frac{5}{20} $ というコトになりますので、答えは $ \frac{1}{4} $ となります。
確率の問題 まとめ
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入試の問題は文章がやや長くなる傾向にありますので、シッカリと読みとれるようにしておきましょう!
今回の問題は、高校入試レベル‥と書きましたが、内容自体は基本的な内容です。
問題のポイントは、場合の数を「どのように数えるか」「いかに間違いなく数えるか」だけですので、確率の基礎基本ができていれば今回の問題は解けるはずです。
今回の問題が解けなかった人は 確率の基本 で少し復習しておきましょう!
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