【中２数学】確率 ～高校入試レベルの問題～
中学２年生ができる問題を選びましたので、春休みの復習としてもチャレンジしてみましょう！
この記事は中学２年生で習う「確率」の問題と解説です。
確率の問題
問題の難易度は変わらないようにしてありますので、頑張ってチャレンジしてくださいね^^
【１】矢を的ＡとＢにそれぞれ１本だけ発射するとき、$ \frac{a+b}{3} $が整数になる確率を求めなさい。
【２】矢を的ＡとＢにそれぞれ１本だけ発射するとき、$ \frac{2b-1}{a} $が整数にならない確率を求めなさい。
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【問題２】２つ箱Ａ、Ｂがある。箱Ａの中には１，２，３の数字が１つずつ書かれた３個の白球と、３、４の数字が書かれた２個の赤球が入っている。箱Ｂの中には４、５の数字が１つずつ書かれた２個の白球と、１、２の数字が書かれた２個の赤球が入っている。２つの箱は上から球を取り出せるようになっていて、どの球が取られることも同様に確からしいものとする。
【１】箱Ａから球を一つだけ取り出すとき、その球が白である確率を求めなさい。
【２】箱Ａと箱Ｂそれぞれから球を１個ずつ取り出すとき、球に書かれた数の和が６となる確率を求めなさい。
【３】箱Ａと箱Ｂそれぞれから球を１個ずつ取り出すとき、取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数となる確率を求めなさい。
もちろん、読解力があれば苦労せずに読み取れるのですが、読みとりが苦手な人は、問題文を何度か読み返し、問題の意味を理解できるようにしましょう！
※実際に、問題文の意味が理解できずに問題が解けない生徒が多いというのが実情です。そうなると「問題を解く」以前の問題になってしまいます。何が理解できないのか、深掘りして「分からない」や「できない」を解消しておきましょう。
問題を考えるヒント
今回のような問題の場合、文章だけだと考えることが難しいという人が多いと思います。
文章問題で考えにくい場合は下の図のようなものを書いてみましょう！
このような図を書くことで、考えやすくなります。
書くことでその問題に集中できるというメリットもあります^^
問題の解説と解答
Check! 問題の解説や解答を読む前に、次のことをチェックしておきましょう！
□ 問題の意味は理解できましたか？
□ 考えやすくなるように、メモや図を書いてみましたか？
□ 自分なりに問題を解いてみましたか？
問題が解けないのは仕方ありませんが、まだ問題の意味が理解できなかったり、図が書けていない場合、もう少し自分で考えてみましょう。
「読み解く」や「考える力」を向上させるつもりで、あと５分くらい頑張ってみてくださいね！
ちなみに確率は $ \frac{その場合の通り数}{全通り数} $ です。
問題１の解説と解答
【１】矢を的ＡとＢにそれぞれ１本だけ発射するとき、$ \frac{a+b}{3} $が整数になる確率を求めなさい。
上のヒントでも使った図を見てみましょう！
矢を的ＡとＢにそれぞれ１本だけ発射するとき、Ａが６通りあり、その６通りに対してＢが４通りの組み合わせが考えられますので、全通り数は ６×４＝２４通り‥となります。
$ \frac{a+b}{3} $が整数になるのは、$ a+b $ が３の倍数のときなので、３の倍数になるのが何通りあるのかをかぞえていきます。
$ a+b $ が３の倍数になるのは、
的Ａが１の場合、的Ｂが２の１通り
的Ａが２の場合、的Ｂが１か４の２通り
的Ａが３の場合、的Ｂが３の１通り
的Ａが４の場合、的Ｂが２の１通り
的Ａが５の場合、的Ｂが１か４の２通り
的Ａが６の場合、的Ｂが３の１通り
･･･という８通りです。
$ \frac{8}{24} $=$ \frac{1}{3} $
ということで、【１】の解答は $ \frac{1}{3} $ ということになります。
【２】矢を的ＡとＢにそれぞれ１本だけ発射するとき、$ \frac{2b-1}{a} $が整数にならない確率を求めなさい。
もう一度ヒントの図を見てみましょう。
$ \frac{2b-1}{a} $ に合わせて計算をしてみましょう。実はこの計算、整数になる組み合わせが非常に少ないことがすぐに分かると思います。
的Ａが１の場合は、全て整数となります。（４通り）
その他の組み合わせで整数になるのはＡが３でＢが２の場合とＡが５でＢが３の２通りしかありません。
※Ａが１のとき～Ａが２のとき～Ａが３のとき～‥と順序良く全ての組み合わせを考えてみましょう！
全２４通り中、６通りが整数となるので、整数にならない組み合わせは１８通りということになります。
$ \frac{18}{24} $=$ \frac{3}{4} $
ということで、【２】の解答は $ \frac{3}{4} $ ということになります。
このように、どちらの組み合わせを考えてもいい場合は。自分が考えやすい方をかぞえましょう！
問題２の解説と解答
私が問題２の内容をまとめると、下の図のようになります。
皆さんはどのようにまとめたでしょうか。
※考えやすくなれば良いので、まとめ方は自由です！
【１】箱Ａから球を一つだけ取り出すとき、その球が白である確率を求めなさい。
【１】の問題は、基礎基本の問題ですね。
全ての通り数が５で、白の場合が３ですので、答えは $ \frac{3}{5} $ となります。
【２】箱Ａと箱Ｂそれぞれから球を１個ずつ取り出すとき、球に書かれた数の和が６となる確率を求めなさい。
箱Ａと箱Ｂそれぞれから球を１個ずつ取り出すので、全ての組み合わせは20通りとなります。
⇒ 箱Ａ５通りに対し、箱Ｂの組み合わせがそれぞれ４通りなので、５×４＝20通り
球に書かれた数の和が６となるのは、
箱Ａが白１の場合、箱Ｂの数が４‥１通り
箱Ａが白２の場合、６になる組み合わせナシ
箱Ａが白３の場合、箱Ｂの数が２‥１通り
箱Ａが赤３の場合、箱Ｂの数が２‥１通り
箱Ａが赤４の場合、箱Ｂの数が１‥１通り
という組み合わせで、４通りということになります。
$ \frac{4}{20} $ というコトになりますので、答えは $ \frac{1}{5} $ となります。
【３】箱Ａと箱Ｂそれぞれから球を１個ずつ取り出すとき、取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数となる確率を求めなさい。
上の図を見ながら、順番に考えていくと分かりやすいと思います。
取り出した球の色が異なり、球に書かれた数の和が偶数になる組み合わせは、
箱Ａが白１の場合、箱Ｂが赤１‥１通り
箱Ａが白２の場合、箱Ｂが赤２‥１通り
箱Ａが白３の場合、箱Ｂが赤１‥１通り
箱Ａが赤３の場合、箱Ｂが白５‥１通り
箱Ａが赤４の場合、箱Ｂが白４‥１通り
という５通りということになります。
$ \frac{5}{20} $ というコトになりますので、答えは $ \frac{1}{4} $ となります。
確率の問題 まとめ
入試の問題は文章がやや長くなる傾向にありますので、シッカリと読みとれるようにしておきましょう！
今回の問題は、高校入試レベル‥と書きましたが、内容自体は基本的な内容です。
問題のポイントは、場合の数を「どのように数えるか」「いかに間違いなく数えるか」だけですので、確率の基礎基本ができていれば今回の問題は解けるはずです。
今回の問題が解けなかった人は 確率の基本 で少し復習しておきましょう！
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