【中2数学】確率 ~練習問題プリント~

今回は確率の練習問題(プリント用PDFあり)を掲載し、その問題の解説をしています。

基本的な問題と、確率の中でも覚えて欲しい内容の問題で、樹形図を使わない間違いにくい数え方での解説になります。

このページでは中学2年生の数学「確率」の練習問題と解説を掲載しています。

確率の練習問題 ~1~

問題(プリント用PDF:確率の問題~1~ )

【1】 [2],[3],[4],[5] の数字が書かれた4枚のカードがある。このカードをのうち,3枚を並べて3けたの整数をつくるとき,次の問いに答えなさい。
(1)何通りの組み合わせができるか。
(2)2の倍数は何通りできるか。
(3)350以上の整数は何個できるか。

【2】次の問いに答えなさい。
(1)A,B,C,Dの4チームがリーグ戦(総当たり)をする場合の試合数は何試合になるか求めなさい。
(2)1,2,3,4の数字を1つずつ書いた4枚のカードがある。このカードのうち,2枚をならべてできる2けたの整数は全部で何通りできるか求めなさい。
(3)0,1,2,3,4の数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。このカードのうち,2枚をならべてできる2けたの整数は全部で何通りできるか求めなさい。
(4)A,B,C,D,E,Fの6人から3人の委員を選ぶとき,その選び方は何通りあるか求めなさい。

【3】1円,5円,10円,50円,100円,500円の6種類の硬貨がそれぞれ1枚ずつある。このうち2枚を選んでできる合計金額をすべて求め,金額の少ない順に並べたとき,次の各問いに答えなさい。
(1)何通りの組み合わせになるかもとめなさい。
(2)100円以下になる組み合わせは何通りあるか求めなさい。
(3)100円以上になる組み合わせは何通りあるか求めなさい。
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練習問題の解答と解説

中学生の数学 イメージ

今回の練習問題のテーマは『どうやってかぞえたか』です。

自分がどう考えてかぞえたのか、解説を読みながら考えてみましょう!この「解説を読みながら考える」という勉強のやり方が、理解を深め、考える力を伸ばしますので、読み流さないでくださいね^^;

ちなみに、解説の考え方だけが正しい‥ということではありません。解説を読んで、自分の考えか正しいのかどうかから考えてみましょう!

 

練習問題の解説

【1】(1)何通りの組み合わせができるか。

百の位の数をA、十の位の数をB、一の位の数をCとして説明していきます。
A→B→Cとカードを置いた場合、Aは4枚のカードから選べますので4通りの組み合わせがあります。
次にBですが、3枚のカードが残っていますので、Aの4通りに対し、それぞれ3通りの組み合わせがあります。
Cを選ぶときは、2枚のカードが残っていて、A・Bの組み合わせそれぞれに対して2通りの組み合わせとなります。

ですので、4×3×2=24
24通りの組み合わせ‥となります。

 

【1】(2)2の倍数は何通りできるか。

カードは[2][3][4][5]で、それぞれが一の位の数になる組み合わせ数は同じです。
(1)より、24通りの組み合わせが考えられますので、
[2]が一の位になるのは6通り
[3]が一の位になるのは6通り
[4]が一の位になるのは6通り
[5]が一の位になるのは6通り‥となります。

2の倍数になるのは一の位の数「C」が[2]か[4]のときですので、12通りということになります。

 

【1】(3)350以上の整数は何個できるか。

A→B→C の順に考えていきます。

・Aが2の場合、全ての組み合わせが350未満なのでかぞえません。
・Aが3の場合、3→5→〇の組み合わせのみ350以上になります。35〇(〇は2か4) なので、2通り
・Aが4と5の場合、全ての組み合わせが350以上です。A2通りに対してB3通り、C2通りなので、2×3×2=12通り

2通り+12通り=14通り

 

【2】(1)A,B,C,Dの4チームがリーグ戦(総当たり)をする場合の試合数は何試合になるか求めなさい。

Aを基準に考えると、B,C,Dと対戦するので、3通りの組み合わせがあります。
次にBを基準に考えますが、先にAチームとの対戦は数えていますので、残りのC,D2チームとの2通りの組み合わせが考えられます。

ここまで行くと、AチームとBチームを含めた組合せは既に数えてあるので、Cチーム対Dチームの1通りしか残りません。

3通り+2通り+1通り=6通り
6試合の組み合わせが考えられますね。

 

【2】(2)1,2,3,4の数字を1つずつ書いた4枚のカードがある。このカードのうち,2枚をならべてできる2けたの整数は全部で何通りできるか求めなさい。

【1】(1)と同じ考え方でできる問題です。
十の位を選んで、一の位を選ぶ‥と考えると、十の位は4枚のカードがあるので、4通り選ぶことができます。
一の位は、十の位で1枚使っているから、3枚のカードが残っています。十の位の4通りに対して、それぞれ3通りの組み合わせができるということになります。

4通り×3通り=12通り

 

【2】(3)0,1,2,3,4の数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。このカードのうち,2枚をならべてできる2けたの整数は全部で何通りできるか求めなさい。

【2】(2)と同じような問題ですが、こちらは【十の位5通り×一の位4通り】とはなりません。
【2】(2)と同じように十の位を選んで、一の位を選ぶ‥と考えると、十の位は5枚のカードがありますが、「0」では2けたの整数になりません。ですので、十の位のカードを選ぶ場合は4通り。
一の位のカードは「0」でもいいので、十の位で1枚使っているから、4枚のカードが残っているということになります。

十の位の4通りに対して、一の位はそれぞれ4通りの組み合わせができるということになります。

4通り×4通り=16通り

条件をよく考えて、使えるカード(数字)をかぞえましょう!

 

【2】(4)A,B,C,D,E,Fの6人から3人の委員を選ぶとき,その選び方は何通りあるか求めなさい。

今回の問題の中で一番考えにくい問題ですが、分かりやすく説明していきますので、理解できるようにしていきましょう!

順序良くかぞえていきましょう!分かりにくい場合は下の図を見てね!

まず、Aを基準にかぞえていきます。
2人目をBとし、A-B-● の組合せは、●=C or D or E or F の4通り。
次は、Bを使った組み合わせは全てかぞえたので、Bを除いて考える。
2人目をCとし、A-C-● の組合せは、●=D or E or F の3通り。
次は、BとCを使った組み合わせは全てかぞえたので、BとCを除いて考える。
2人目をDとし、A-D-● の組合せは、●=E or F の2通り。
次は、BとCとDを使った組み合わせは全てかぞえたので、BとCとDを除いて考える。
2人目をEとすると、残りはFのみなので1通り。

確率 組合せの数え方

こうしてAを基準にかぞえると、10通りの組み合わせとなります。

これで、Aを含む組合せはかぞえ終わったので、次にAを除く5人で同じように数えていきます。
同じように数えると、
Bを基準に6通り、Cを基準に3通り、Dを基準に1通りとなります。

それらをすべて合わせると、20通りということになります。

 

【3】(1)何通りの組み合わせになるかもとめなさい。

今回の問題の場合、2枚を選んでできる合計金額ですので、【1円+5円】と【5円+1円】は同じ【6円】のことなのでどちらか1回だけかぞえるようになります。
表-裏の関係をかぞえるかかぞえないかは、問題をよく読んで考えてみましょう!

上の図のようなかぞえ方をすると、間違えにくいし、早くかぞえることができます。

1円を基準に5通り
5円を基準に4通り
10円を基準に3通り
50円を基準に2通り
100円を基準に1通り
これらの合計で15通り‥ということになります。

 

【3】(2)100円以下になる組み合わせは何通りあるか求めなさい。

【3】(1)と同じように数えますが、100円と500円までかぞえると100円以上になってしまいますので、100円と500円を除いた4枚の組合せをかぞえる‥ということになります。

1円を基準に3通り
5円を基準に2通り
10円を基準に1通り
これからの合計で6通りとなります。

 

【3】(3)100円以上になる組み合わせは何通りあるか求めなさい。

この問題の場合は、【3】(2)の逆‥という考え方ができます。100円以下という条件と100円以上という条件でちょうど100円の組合せはありませんので、
全部の組合せ‥15通り
100円以下の組合せ6通り
100円以上の組合せ=15-6=9 ということになります。

 

練習問題の解答

【1】
(1)24通り

(2)12通り
(3)14通り

【2】
(1)6試合
(2)12通り
(3)16通り
(4)20通り

【3】
(1)15通り
(2)6通り
(3)9通り

今回の問題は全て、何通りの組み合わせがあるのか‥という問題でした。
確率の問題は、組合せ数さえかぞえられれば、答えまで導くのはかんたんですからね^^
上手に組み合わせ数を考えられるように練習していきましょう!

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