【中学生の数学│難問】空間図形の難しい問題(2)

今回は中学3年生の受験対策問題で質問があった問題を解説していきます。
受験の難しい問題の対策としチャレンジしてみましょう!

中学3年生用の受験対策問題と解説になっています。難易度はやや高めです。

空間図形の受験問題

この問題は、3問あり、1問目は基本問題、2問目は発展問題、3問目が応用問題(難問)となっています。
受験で難しいと感じる問題でも、全てが難しいわけではないことが多いので、3問目は無理でも、1~2問目はシッカリと点を取るようにしていきましょう!

下の図のような,1辺12cmの正四面体OABCがあり,辺BCの中点をMとする。
このとき,次の問いに答えなさい。
【1】線分OMの長さを求めなさい。
【2】辺OCの中点をDとし,線分OB上に線分AEと線分EDの長さの和が最も小さくなるように点Eをとる。また,線分AM上にAP:PM=4:5となる点Pをとり,三点A, D, Eを通る平面と線分OPとの交点をQとする。
(1)線分OMと線分DEとの交点をRとするとき,線分ORと線分RMの長さの比を求めなさい。
(2)三角錐QPBCの体積を求めなさい。
空間図形の難問 問題図

 

空間図形の受験問題 解説

今回の問題は、やや難易度が高いと書きましたが、公立高校の問題としてはかなり高い方かもしれません。
このような難しい問題を解けるようにする前に、全体の基礎基本の見直しをしておきましょう!

 

【1】の解説と解答

△OBCは正三角形ですので、△OBMは30°-60°-90°の三角形になるという事はすぐに分かりますよね。
30°-60°-90°の三角形ということは、辺の比は1:2:$\sqrt{ 3 }$ になります。

ですので、$2:\sqrt{ 3 }=12:OM$
$OM=6\sqrt{ 3 }$ となります。

30°-60°-90°で、1:2:$\sqrt{ 3 }$ の三角形になると気付ければOK!

三平方の定理の基本的な問題です!
この問題が出来なかった人は、三平方の定理の基礎を見直しておきましょう!

 

【2】(1)の解説と解答

このような問題を解くときは、下の平面図のように問題文に書かれている内容をまとめることが必要です。
キレイに書く必要はありませんが、書くことによって考えがまとまったり、問題を解くヒントを発見できたりします。
難問 解説図
今回の問題はOR:RMを求めればいいのですが、比率を求めるときに最初にチェックするのが相似です。
この問題の場合、2組の相似な三角形を見つけられれば、解くことができます。その相似の関係を見つけるためにも上のような図を書くことが大切なんです。

その2組の三角形は、△EAB∽△EDO,△ROE∽△RMD です。

求めるのは、OR:RMですが、△ROE:△RMDを求めても同じ比率になります。
その比率を求めるために、MDの長さが中点連結定理で6cmということが分かるので、OEの長さを求める。

その為に△EAB∽△EDOを利用する‥という流れになります。

 

△EAB∽△EDOについて

点DはOCの中点ですので。
AB:DO=2:1ですから、
△EAB:△EDO=2:1

相似な図形の対応する辺の比も同じく2:1になりますから、BE:OE=2:1
OBは12cmなので、OE=4cmとなります。

△ROE∽△RMDについて

△EAB∽△EDOでOE=4cmと求められたので、
OE:MD=4:6=2:3
△ROE:△RMD=2:3

ですので、OR:MR=2:3となります。

 

【2】(2)の解説と解答

公立高校受験を目指す中学生にとってはかなり難しい問題ではないかと思いますが理解できる人はチャレンジしてみましょう。

△PBCを底面として考えていきましょう!高さは△PBCから垂直に点Qに伸ばしたQHとします。
△PBCの面積はカンタンですので解説はしません。高さを求めることが出来れば答えまで辿り着ける‥という人だけ読み進めてください。
※まだこの段階まで達していない人は学校ワークや受験対策問題の基本的な問題で理解を深めてからチャレンジしましょう!

底面になる△PBCから点Qまでの高さを求めるため、OMAの断面図(平面図)を書きます。
辺AMに直角なOI、QH、辺OMに平行なKP、辺OAに直角なMJを追加します。
空間図形の難問 解説図

現在分かっていること
・OA=6

・OM=AM=$6\sqrt{ 3 }$
・OR:RM=2:3
・AP:PM=4:5
・JはOAの中点

OIの長さを求めるためにまずはMJの長さを求めます。
AJ=6cm、AM=$6\sqrt{ 3 }$ ですので、三平方の定理からMJ=$6\sqrt{ 2 }$となります。

△MOJで辺OAと辺AM、MJの長さが分かっているので、【辺OAを底辺とした時の面積】=【辺AMを底辺とした時の面積】という一次方程式をつくりOIの長さを求めます。
$ \frac{1}{2}×12×6\sqrt{ 2 } $=$ \frac{1}{2}×6\sqrt{ 3 }×OI $
$OI=4\sqrt{ 6 }$

ココから少し複雑になってきますので、解説図(↓)をもう一度みてみましょう。

空間図形の難問 解説図
△APK∽△AMR、△QPK∽△QOR、△PHQ∽△PIO等を使ってQHの長さまで辿り着きます。

AP:PM=4:5 より △APK:△AMR=4:9 となり、OR:RM=2:3なので、△QPK:△QOR=2:3となります。
ですので、QP:QO=2:3、△PHQ:△PIO=2:5 となります。

OIは $4\sqrt{ 6 }$ ですので、
HQ:IO($4\sqrt{ 6 }$)=2:5
HQ=$ \frac{8\sqrt{ 6 }}{5} $

 

答え:$32\sqrt{ 2 }$

この時期になると、このような空間図形の難問や関数の難問の質問が多くなってきます。
しかし、点数アップや点数を安定させるために必要なのは基礎基本です。
難問の解き方‥ではなく、難問を解くことによって基礎基本を見直す‥というような意識で取り組んで欲しいですね^^