中学数学高校入試向け難問にチャレンジ［考え方のコツ］

2021年3月10日2022年2月6日

今回は公立高校入試向けの難問にチャレンジしてみましょう！
難問と言っても基礎・基本の考え方ができて、コツがつかめれば解ける問題も多いんですよ^^
自分にはまだ無理かな‥と思う人も、今回の問題にチャレンジして、難しいと思ったら基礎・基本を見直しておきましょうね！

※この記事は高校受験に向けて、難問にチャレンジすることでステップアップをしたい中学３年生向けの記事です。

Contents

1. 入試の難問にチャレンジしよう！
2. 中学生の数学：難問を解くコツ

入試の難問にチャレンジしよう！

※注意※
今回は難問にチャレンジしてみたい中学生のための記事ですので、基本的な部分の説明は極力省いて解説をしていきます。
今回の問題で、説明を省いた部分が理解できていない場合は、基礎・基本ができていないという事ですので、基礎・基本の問題を解き直すことをおススメします。

基礎・基本ができているからこそステップアップができます。焦らず基礎固めをするようにしてくださいね！

問題：関数の難問

下の図のように、関数 $ y=ax^2 $ のグラフと直線Lがあり、２点Ａ、Ｂで交わっている。
Lの式は $ y=2x+3 $ で、A、Bの $ x $ 座標はそれぞれ－１、３である。
このとき、次の【１】、【２】の問いに答えなさい。

【１】$ a $ の値を求めなさい。

【２】直線 L 上に点Ｐをとり、Ｐの $ x $ 座標をｔとし、ｔの範囲を０＜ｔ＜３とする。また、Ｐを通り $ y $ 軸に平行な直線をｍとし、ｍと関数 $ y=ax^2 $ のグラフとの交点、$ x $ 軸との交点をそれぞれ Q、R とする。
さらに、Ｐを通り $ x $ 軸に平行な直線と $ y $ 軸との交点をＳ、Ｑを通り $ x $ 軸に平行な直線と $ y $ 軸との交点をＴとする。

（１）ｔ＝１のとき、長方形ＳＴＱＰの周の長さを求めなさい。

（２）長方形ＳＴＱＰの周の長さが、線分ＱＲを１辺とする正方形の周の長さと等しいとき、ｔの値を求めなさい。

問題：空間図形の難問

下の図のような、底面が１辺 $4\sqrt{ 2 }$ cm の正方形で、高さが６cm の直方体がある。
辺ABの中点をＰ、辺ＡＤの中点をＱとするとき、次の【１】～【３】の問いに答えなさい。

【１】線分ＰＱの長さを求めなさい。

【２】四角形ＰＦＨＱの面積を求めなさい。

【３】線分ＦＨと線分ＥＧの交点をＲとする。また、線分ＣＲの中点をＳとする。このとき、Ｓを頂点とし、四角形ＰＦＨＱを底面とする四角錘の体積を求めなさい。

解説：関数の難問

基本的な問題でも、難問と言われる難しい問題でも、問題を解く基本は同じです。
今回のような関数の問題の場合、問題を考える前に、下のように問題文から分かる情報をグラフに書き込んでみましょう！
情報をまとめることによって、考えがまとまりやすくなる効果もありますから試してみてね^^

【１】a の値を求めなさい。

$ y=ax^2 $ の a を求める問題です。
A(-1,1) か B(3,9) のどちらかの座標を使えば a は求められます。

【２】（１）ｔ＝１のとき、長方形ＳＴＱＰの周の長さを求めなさい。

今回の問題は、P、Q、R、S、T という５つの点が追加されますので、下の図のように、どのような点になるのかをグラフに書き込んでみましょう！
※特に難問と言われる難しい問題では、頭の中で考えているだけでは情報をまとめにくく、考えにくくなりますので、必ず書きこむようにしましょう！

上の図のように記入すると、辺PSと辺TQの長さが１だということ。
Qの座標とPの座標を出せば辺STと辺QPの長さが求められるという事に気付けますよね？

Q(1,1)、P(1,5) ですので、辺STと辺QPの長さは４という事になります。

ココまでは基本的な問題ですので解説は簡単なものにしました。
【２】(２)までの問題がキツイと思った人は基本て泣き問題の解き直しをしておきましょう！

【２】(２)長方形ＳＴＱＰの周の長さが、線分ＱＲを１辺とする正方形の周の長さと等しいとき、ｔの値を求めなさい。

「線分ＱＲを１辺とする正方形の周の長さと等しいとき」となっていますので、方程式が使えるな‥と考えられるといいですね^^

※辺の長さを出すために、ｘ座標を使うのか、ｙ座標を使うのかをシッカリと考えよう！

まず、長方形ＳＴＱＲの周の長さを考えてみましょう。
辺ＴＱ＝ｔですので、辺ＴＱ＋辺ＰＳ＝２ｔということになります。

辺ＱＰは、(Ｐのｙ座標－Ｑのｙ座標)ですので、
Ｐのｙ座標（２ｔ＋３）－Ｑのｙ座標( $ t^2 $ )＝$ -t^2+2t+3 $ となります。
辺ＳＴ＋辺ＱＰの長さはその２倍ですので、$ 2(-t^2+2t+3) $

上の２つの式の和が長方形ＳＴＱＲの周の長さになります。
$ 2t+2(-t^2+2t+3)=-2t^2+6t+6 $

線分ＱＲを１辺とする正方形の周の長さは、辺ＱＲ＝$ t^2 $ ですので、$ 4t^2 $ ということになります。

長方形ＳＴＱＲの周の長さ＝正方形の周の長さ ですので、
$ -2t^2+6t+6=4t^2 $

この式を解いて、そのまま答えになる‥ということではありません。
問題にある０＜ｔ＜３という条件も忘れずに！

ＰＯＩＮＴ グラフに情報や条件を記入し、考えやすい状態をつくりましょう！

解答

【１】１

【２】（１）10
　　　（２）$ \frac{1+\sqrt{ 5 }}{5} $

解説：空間図形の難問

【１】線分ＰＱの長さを求めなさい。

空間図形の問題ですが、下の図のように、問題の部分を切り取って、平面で考えるようにしていきましょう！

辺ＡＰ＋辺ＱＡ＝ $2\sqrt{ 2 }$ 、∠Ａ＝90° ‥の三角形ですので、三平方の定理で計算しても、１：１：$\sqrt{ 2 }$ で計算してもＯＫ！

【２】四角形ＰＦＨＱの面積を求めなさい。

コチラの問題も問題の部分を切り取って、下の図のように平面で考えます。

辺ＰＦは△ＰＢＦで三平方の定理が使えますので、
$ 6^2+(2\sqrt{ 2 })^2=PF^2 $
$ PF=2\sqrt{ 11 } $

上の図で点Ｐから辺ＦＨに垂直に引いた線とＦＨの交点をＸとすると、辺ＰＦの長さと辺ＦＸの長さが分かるので、辺ＰＸも三平方の定理で求めることができます。

$ PX^2=(2\sqrt{ 11 })^2-2^2$
$ PX=2\sqrt{ 10 }$

高さが求められればあとは台形の面積を出すだけです。

面積=$ \frac{1}{2} $$×(4+8)×2\sqrt{ 10 }$
=$ 12\sqrt{ 10 }$

【２】で四角形ＰＦＨＱの面積は分かっていますので、四角錘ＳＰＦＨＱの体積を求めるためには、四角形ＰＦＨＱからＳまでの高さが分かれば求められます。
まずは、自分がもっているリソースで足りないものが何なのか‥という事を把握しましょう！

四角形ＰＦＨＱからＳまでの高さを求めれば、四角錘ＳＰＦＨＱの体積を求められますので、まずは高さを考えていきましょう。

高さを求めるために、四角形ＰＦＨＱの面、点Ｒ・Ｓが分かりやすい平面はどこにあるのか‥という事を考えてみましょう。
そうすると、ＡＥＧＣで切り取ると四角形ＰＦＨＱの面、点Ｒ・Ｓが同じ平面上に表すことができることに気付けると思います。そこに気付けたら下のように図を書いてみましょう。
※この場合、情報をまとめ、考える元になれば良いので、フリーハンドで書いてもＯＫ！
空間図形の難問：解説図