【中２ 数学】１次関数の問題（２）【問題と解説】
１次関数の図形問題の基本となるような問題ですので、シッカリ理解していきましょう！
この記事は中学２年生の１次関数の図形問題と解説です。高校受験の復習にもご活用ください。
１次関数の問題（２）
今回は１次関数の図形の問題です。グラフの問題は１次関数の問題（１）でチェックしておきましょう！
苦手としている人が多いのですが、ポイント毎に分けて考えると解きやすいので、是非チャレンジしてくださいね^^
１次関数の問題（プリントあり）
［プリント用PDF：一次関数の問題（２）］
【１】下の図のような長方形ＡＢＣＤで,点ＰはＡを出発して,返上をＢ,Ｃを通ってＤまで動く。辺ＡＢ＝６cm,辺ＢＣを１２cm,点ＰがＡから $ x $ cm 動いた時の△ＡＰＤを $ y $ ㎠ として下の問いに答えなさい。
（１）点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき,辺ＢＣ上にあるとき,辺ＣＤ上にあるときに分けて, $ y $ を $ x $ の式で表しなさい。
（２）$ y $ が１８㎠ 以上となる $ x $ の変域を求めなさい。
（３）点ＰがＡからＤまで毎秒１cmで動くとき, △ＡＰＤの面積が３０㎠ となるのは,点ＰがＡを出発してから何秒後か。すべて答えなさい。
【２】下の図のような∠Ｃ＝90°,ＢＣ＝８cm,ＣＡ＝６cmの直角三角形ＡＢＣがある。点Ｐが△ＡＢＣの返上をＢを出発して毎秒２cmでＣを通ってＡまで動く。点ＰがＢを出発して $ x $ 秒後の△ＡＢＰの面積を $ y $ ㎠として次の問いに答えなさい。
（１）辺ＢＣ上に点Ｐがあるとき, $ y $ を $ x $ の式で表し,それぞれの変域を求めなさい。
（２）辺ＣＡ上に点Ｐがあるとき, $ y $ を $ x $ の式で表し,それぞれの変域を求めなさい。
１次関数の問題（２）の解説
このように、同じような問題を何度か解くのは、理解を深めて別な問題(テスト等)への応用ができるようにするためです。
ですので‥しっかりと理解して、テストで良い点数が取れるようにしていきましょう！
【１】の解答と解説
（１）の問題がこのような問題を解く場合のカギとなります。
点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき,辺ＢＣ上にあるとき,辺ＣＤ上にあるときに分けて～‥という問題ですが、問題を解くポイントもまさに『辺ごとに分けて考える』ということなんです。これ、重要です^^
（１）点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき,辺ＢＣ上にあるとき,辺ＣＤ上にあるときに分けて, $ y $ を $ x $ の式で表しなさい。
辺AB上に点Pある場合の△APDの面積は、辺ADを底辺と考えると、底辺(AD)12cm、高さ $ x $ cmとなります。
三角形の面積は【底辺×高さ÷２】ですので、【$ y=12×x÷2＝6x $】となります。
※辺AB上の式 $ y=6x $
辺BC上に点Pある場合の△APDの面積は、先ほどと同じく辺ADを底辺と考え、底辺(AD)12cmで高さは 6 cmで固定となります。ですので、【$ y=12×6÷2＝36 $】となります。※高さが変化しませんので、辺BC上で $ y $ の値は変化しないということになります。
※辺BC上の式 $ y=36 $
辺CD上に点Pある場合の△APDの面積の式が問題のポイントです。
辺AB上に点Pがある場合は 高さ$ =x $ だったので考えやすかったと思うのですが、辺CD上にある場合は違います。
Cの位置に点Pがある場合、辺ABの６cmと辺BCの12cmを移動していますので、$ x=18 $ 、高さが６cmということになります。
Dの位置に点Pがある場合、辺ABの６cmと辺BCの12cm、辺CDの６cmを移動していますので、$ x=24 $ 、高さが０cmということになります。
底辺は12cmですので、【$ y=12×(24-x)÷2=-6x+144 $】となります。
※辺BC上の式 $ y=-6x+144 $
（２）$ y $ が１８㎠ 以上となる $ x $ の変域を求めなさい。
底辺ADが12cmなので、高さが３cm以上あればいいので、$ x $ の変域は、
$ 3≦x≦21 $ となります。
（３）点ＰがＡからＤまで毎秒１cmで動くとき, △ＡＰＤの面積が３０㎠ となるのは,点ＰがＡを出発してから何秒後か。すべて答えなさい。
△APDの面積が30㎠となるのは、高さが5cmの時です。
高さが５cmとなるのは
点Pが辺ABにある場合の５秒後 と、点Pが辺CD上にある19秒後の２回となります。
【２】の解答と解説
式を作ることと変域を考えられれば、１次関数の問題を考えることがラクになりますので、この問題の考え方を理解してくださいね^^
（１）辺ＢＣ上に点Ｐがあるとき, $ y $ を $ x $ の式で表し,それぞれの変域を求めなさい。
まずは式を考えましょう！
辺BCに点Pがある場合、BPを底辺として、高さを６cm固定として考えましょう！
点Pは毎秒２cmで動くので、底辺は $ 2x $ cmということになります。
底辺×高さ÷２にそのまま上の値と式を代入すると、【 $ y=2x×6÷2=6x $ 】
次に $ x $ の変域ですが、Bの位置にいる時は $ x=0 $、Cまで8cmで点Pは毎秒２cmで動くので、8÷2＝4‥４秒でCに着くことになります。
$ x $ の変域 $ 0≦x≦4 $
次に $ y $ の変域ですが、$ x $ の変域 $ 0≦x≦4 $ の最大値「０」と最小値「４」を 上の式 $ y=6x $ に代入します。
$ x=0 $ を代入すると$ y=0 $
$ x=4 $ を代入すると$ y=24 $
$ y $ の変域 $ 0≦y≦24 $
（２）辺ＣＡ上に点Ｐがあるとき, $ y $ を $ x $ の式で表し,それぞれの変域を求めなさい。
辺CA上に点がある場合は、辺CAを底辺とし、高さを８cm固定として考えます。
底辺の長さは、$ 14-2x $ となります。※底辺の式の表し方は【１】と同様。この部分は簡単なのですが、シッカリと理解して進めましょう！
底辺×高さ÷２にそのまま上の値と式を代入すると、【 $ y=(14-2x)×8÷2=-8x+56 $ 】
$ x $ の変域 $ 4≦x≦7 $
$ y $ の変域 $ 0≦y≦24 $