中学3年生の数学【関数】グラフの図形問題の解き方(発展)

今回は『関数 $ y=ax^2 $ 』のグラフの図形問題の解き方をお伝えしていきます。
某県の受験問題で、難問‥とまではいきませんが、基本的な問題+発展問題となっています。

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【関数 $ y=ax^2 $ 】グラフの図形問題の解き方(発展)

中学生の数学:関数イメージ

『関数 $ y=ax^2 $ 』のグラフの問題の基本的な解き方をお伝えしてきました。基本的な解き方、考え方が身に着けば、発展問題も解きやすくなりますので、基本的な内容に不安がある場合は、前記事『グラフの問題の解き方(基本)』『グラフの問題の解き方(基本~発展)』を確認しておきましょう。

今回の記事では基本的な座標の求め方や式の求め方は、詳しく説明しませんので、前記事で確認しておきましょう!

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座標平面上の図形の問題

下の図のように関数 $ y=ax^2 $ ($ a<0 $) のグラフ上に3点A,B,Cがあり,点Aの座標は(6,-9),点Bの $ x $ 座標は4,点Cの $ x $ 座標は-4である。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)関数 $ y=ax^2 $ の $ a $ の値を求めなさい。

(2)直線ACの式を求めなさい。

(3)点Bを通り,四角形OBACの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

中学生の数学:グラフの図形問題01
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座標平面上の図形の問題<解説>

(1)関数 $ y=ax^2 $ の $ a $ の値を求めなさい。
関数 $ y=ax^2 $ に,点Aの座標(6,-9)を代入すれば $ a $ の値が求められます。

(2)直線ACの式を求めなさい。
(1)で求めた式に点Cの $ x $ 座標-4を代入して、点Cの座標を求めます。

点Aと点C,2点の座標から直線ACの式を求めます。

~ ここまでは基本的な問題です ~
ここまでの内容に不安がある場合は、前記事『
グラフの問題の解き方(基本)』『グラフの問題の解き方(基本~発展)』で復習しておきましょう。

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(3)点Bを通り,四角形OBACの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

四角形OBACは下の図のようになります。
グラフの図形問題:解説1

この四角形の面積を点Bから2等分します。今回は面積を出しやすくするため点B~Cで分けて考えていきましょう。2つの三角形に分けると下の図のようになります。
グラフの図形問題:解説2

点Bの座標は(4,-4)ですので、△ABCの面積は20、△BOCの面積は16となります。
(△ABC:底辺BC=8,高さ5、△BOC:底辺BC=8,高さ4)
ですので、△ABC側から「2」移せばOK!下の図の直線BDが今回求める四角形OBACの面積を2等分する直線の式になります。
グラフの図形問題:解説3

底辺BCは「8」ですので、面積を2にする高さは0.5です。点Bから辺CAに引いた線との交点をDとして説明します。

直線ACの式に点Dの $ y $ 座標「4.5」を代入し、点Dの座標を求めます。

これで点B、点D、2点の座標がわかりましたので、直線BDの式が求めまれます。

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座標平面上の図形の問題<解答>

(1)$ a= $ $ -\frac{1}{4} $

(2)$ y= $ $ -\frac{1}{2} $$ x-6 $

(3)$ y= $ $ \frac{1}{14} $$ x- $$ \frac{30}{7} $

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