中学生の数学【連立方程式の利用】応用問題の解き方

2020年10月12日

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【連立方程式の利用】応用問題の解き方

連立方程式の中でも中学生が苦手とする「割合の問題」を解説していきます。
今回解説する問題は、塾に通っている中学生から質問があった問題になります。

通常の２つの問題の考え方と解き方で、割合の問題の基本的な考え方を理解しましょう。
まずは自力で問題を考えてから解説を読みましょう。

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問題１ 基本的な割合の問題

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問題２ 食塩水の濃度の問題

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【連立方程式の利用】応用問題の解説

【問題１】は「基本的な割合」の問題です。割合の表し方をシッカリと見直しましょう。
割合の問題が苦手な中学生は、解説では考え方のポイントをいくつか挙げますので、割合の基本的な考え方をマスターしましょう。

【問題２】は多くの人が苦手としている「食塩水の濃度」の問題です。ポイントを押さえれば簡単な問題ですので、解説でそのポイントを伝えていきます。

※解説前にシッカリと自分で問題を解いてみましょう！
※今回は計算方法については解説していません。
⇒計算方法については 連立方程式の解き方 をご覧ください。

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問題１ 基本的な割合の問題の解説

【問題を解くポイント】求めたい数字は『Ａ中学校の今年の男子、女子それぞれの生徒数』です。
通常、方程式の問題を解く場合は、求めたい数字を $ x $ ，$ y $ としますが、割合の問題は違います。
割合の問題の場合、割合の元になる数字を $ x $ ，$ y $ とします。
この問題の場合、去年の男子生徒数を $ x $ ，去年の女子生徒数を $ y $ とします。
※求めたい数字を $ x $ ，$ y $ としても解くことはできますが、計算が複雑になります。

割合の考え方：500人の10％を計算する場合は、500×0.1、20％を計算する場合は、500×0.2 と小学校で習ったはずです。その元になる考え方は、％は百分率ですので、100で分けたうちのいくつか‥ということです。
10％ ⇒ ×0.1 ⇒ ×$ \frac{10}{100} $ という事です。
計算上、分数の方が便利ですが、考えにくい場合は小数でもOKです。

数字のまとめ：方程式の文章問題を解く場合、情報の整理が重要です。
私は次のようにまとめました‥
・去年の男子生徒数を $ x $ ，去年の女子生徒数を $ y $ とする。
・去年の生徒数 480人
・今年は男子が10％減
・今年は女子が４％増
・今年は昨年より13人減った

■この問題はココまでの情報で式が出来ますので、一旦この情報で解説します。

【式１】一つ目の式はカンタンです。
【去年の男子生徒数＋去年の女子生徒数＝去年の生徒数】
去年の男子生徒数を $ x $ ，去年の女子生徒数を $ y $ で、去年の生徒数が 480人ですので、
$ x $ ＋ $ y $ ＝480

【式２】２つ目の式は、昨年の増減を表す式です。
【男子の増減数＋女子の増減数＝合計の増減数】
男子が10％減 ⇒ $ \frac{10}{100} $$ x $ 人減った
女子が４％増⇒ $ \frac{4}{100} $$ y $ 人増えた
この２つの文字式を合わせると、
$ -\frac{10}{100} $$ x+ $ $ \frac{4}{100} $$ y $ = 13

【式１】と【式２】を連立方程式として解きます。
⇒ $ x=230 $ ＋ $ y=250 $

この $ x $ と $ y $ は昨年の生徒数ですので、今年の増減数は
$ x×10％ = 23 $
$ y×4％ = 10 $
男子‥昨年より23人減ったので今年の男子数は207人
女子‥昨年より4人増えたので今年の女子数は260人

今年の男子数　207人
今年の女子数　260人

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問題２ 食塩水の濃度の問題の解説

食塩水の濃度の問題は、４％の食塩水や１４％の食塩水などが出てきて、何をどう考えればいいのか分からない‥という人も多いようです。しかし、４％の食塩水は、100gの食塩水に４ｇの食塩が入っている‥と考えればOKです。
食塩の重さは「食塩水の重さ×濃度(％)」で計算することができます。
今回の問題は【８％の食塩水を1000ｇつくる】という事ですので、1000ｇの食塩水の中に80ｇの食塩‥ということになります。(1000×0.08＝80)

『２種類の食塩水をそれぞれ何ｇまぜればよいか』という事ですので、【４％の食塩水の重さ】を $ x $ ，【１４％の食塩水の重さ】を $ y $ とします。未知数が２つですので、２つの式を作ればいいのですが、今回分かっていることは、
・４％の食塩水と１４％の食塩水がある
・1000ｇの食塩水を作る
・８％の食塩水を作る
ということですので、連立方程式の２つの式を日本語的に考えると、
【式１】「４％の食塩水の重さ」＋「１４％の食塩水の重さ」＝「求めたい食塩水の重さ」
【式２】「４％の食塩水の食塩の重」＋「１４％の食塩水の食塩の重さ」＝「求めたい食塩水の食塩の重さ」ということにになります。

【式１】一つ目の式は食塩水の重さの式です。
【４％の食塩水の重さ＋１４％の食塩水の重さ＝求めたい食塩水の重さ】
$ x $ ＋ $ y $ ＝ 1000

【式２】２つ目の式は、食塩の重さを表した式です。
【４％の食塩水の食塩の重＋１４％の食塩水の食塩の重さ＝求めたい食塩水の食塩の重さ】
$ \frac{4}{100} $$ x+ $ $ \frac{14}{100} $$ y $ ＝ 80
※1000ｇで８％なので【1000×0.08＝80】

【式１】と【式２】を連立方程式として解きます。
⇒ $ x=600 $ ，$ y=400 $ これがそのまま答えとなります。

答えは
４％の食塩水‥600ｇ
１４％の食塩水‥400ｇ

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【連立方程式の利用】応用問題の解き方 まとめ

今回は基本的な方程式の作り方、割合の問題の考え方、食塩水の濃度の考え方など、連立方程式の応用問題を解くうえで大切なことを『POINT』としてピックアップしました。
『POINT』を意識して何問も類似問題を解いてみましょう！

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