【証明問題】三角形の合同の証明 基本篇(2)中学2年生の数学

三角形の合同の証明 基本篇(1)を書いていて、分かりにくいかな?と感じたので、カンタンな説明で2問ほど解説していきます。
この記事は中学2年生の「三角形の合同の証明」が書けないくて困っている中学生向けの基本的な内容の記事になっています。

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三角形の合同の証明 基本篇(2)

中学生の数学 イメージこのページで、合同の証明を2問解説していきます。
その中で、証明の流れ何故その説明をするのか‥というところも気にしながら読み進めると、さらに力が付きますのでおススメです!

今回紹介するような証明の基本的な問題を何回か解いて、証明問題になれるようにしていきましょう!

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中学生の数学 合同の証明 例題1

下の図のように,△ABCの辺BCの中点をDとし,Dを通り辺ACに平行な直線と辺ABとの交点をE,Dを通り辺ABに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。このとき △EBD≡△FDC となることを証明しなさい。
中学生の数学 合同の証明例題

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中学生の数学 合同の証明 例題2

下の図で,AB=AC,∠ABD=∠ACE である。このとき,△ABD≡△ACE であることを証明しなさい。
中学生の数学 合同の証明例題2

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合同の証明 例題1の解説

前回もお伝えしましたが、証明の考え方の基本手順
(1)どの図形とどの図形の合同を証明するのか
(2)使える材料をまとめる
(3)どの合同条件を使うのか ・・です。

今回は問題が「 △EBD≡△FDC となることを証明しなさい」という事なので、(1)は問題で指定されているという事になります。

次に(2)使える材料をまとめる ですが、ポイントになる部分にマーカーを入れて、問題文をもう一度見てみましょう。

下の図のように,△ABCの辺BCの中点をDとし,Dを通り辺ACに平行な直線と辺ABとの交点をE,Dを通り辺ABに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。このとき △EBD≡△FDC となることを証明しなさい。
中学生の数学 合同の証明例題

BCの中点をDとし‥ですので、BD=DCということですね。

次に平行が2組出てきます。平行と言ったら必ずと言っていいほど使うのが「同位角」か「錯角」です。
分かりやすいように色分けしてみましたので、下の図で確認していきましょう。
中学生の数学 合同の証明例題の解説

赤の印‥AB//FDですので、∠EBD=∠FDC(同位角)となります。
水色の印‥AC//EDですので、∠BDE=∠DCF(同位角)となります。

材料のまとめ【1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい】
BD=DC(仮定)
AB//FDの同位角 ∠EBD=∠FDC
AC//EDの同位角 ∠BDE=∠DCF

この時点で、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という三角形の合同条件が満たされますので、そのまま証明を書いてみましょう!

合同を証明する場合の型は、
1)どの図形とどの図形について説明するのか宣言
(2)合同条件を満たす
(3)合同条件と合同の結論 という順番でしたね^^

(1)のパート
△EBDと△FDCにおいて
(2)のパート
仮定より BD=DC …①
AB//FDの同位角 ∠EBD=∠FDC …②
AC//EDの同位角 ∠BDE=∠DCF …③
(3)のパート
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△EBD≡△FDC

(2)のパートで、BD=DC ,∠EBD=∠FDC,∠BDE=∠DCF というように、辺や角が等しいとする場合は、その根拠となる説明を書くこと。
BD=DC の根拠は仮定、∠EBD=∠FDC の根拠は A B//FDの同位角 ,∠BDE=∠DCF の根拠は AC//EDの同位角という事になります。

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合同の証明 例題2の解説

例題2も三角形の合同を証明するだけですので、使える材料を問題の中からピックアップしていきましょう。

下の図で,AB=AC∠ABD=∠ACE である。このとき,△ABD≡△ACE であることを証明しなさい。
中学生の数学 合同の証明例題2

今回の問題で使える材料は AB=AC,∠ABD=∠ACE ですね。
△ABD≡△ACE を証明するのに、1組の辺と1組の角が等しいという事が仮定で与えられています。
中学生の数学 合同の証明例題2解説

ということは、合同条件の【2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい】か、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい】どちらかが使える‥と考えます。

【2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい】とするならば、もうひとつ BD=CE を証明しなければいけません。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい】とするならば、∠DAB=∠EAC を証明する必要があります。

どちらが使えるでしょうか。

!重要!
BD=CE を使おうと思ったら、なぜ BD=CE だと言えるのか考えてみましょう。

∠DAB=∠EAC を使おうと思ったら、なぜ ∠DAB=∠EAC だと言えるのか考えてみましょう。

今回の問題の場合は、∠DAB と ∠EAC は共通の角ですので、∠DAB=∠EAC を使う‥という事になります。
自分で見つけることはできたでしょうか。

材料のまとめ【1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい】
AB=AC(仮定)

∠ABD=∠ACE(仮定)
∠DAB=∠EAC(共通)
合同条件に合わせた証明の材料がまとまりましたので証明を書いてみましょう!

まずは自分で書いてみることをおススメします!

もう一度書いておきますが、合同を証明する場合の型は、
(1)どの図形とどの図形について説明するのか宣言
(2)合同条件を満たす
(3)合同条件と合同の結論 という順番です^^

(1)のパート
△ABD と △ACEにおいて
(2)のパート
仮定より AB=AC …①
∠ABD=∠ACE …②
共通の角だから ∠DAB=∠EAC …③
(3)のパート
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ABD≡△ACE

POINT 三角形の合同の証明は、三角形の合同条件に合わせて考えると考えやすい
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