【中学生の数学│難問】(受験問題)中3 2次関数の難しい問題

今回は中学生の数学の中でも苦手にしている人が多い関数の中でも、さらに難しい問題です。
制限時間15分程度でチャレンジしてみましょう!
この記事は中学3年生の2次関数を学習したい中学生向けの内容です。

中学生の数学│難問 2次関数 $ y=ax^2 $ の問題

 下の図のように,関数 $ y= $-$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ のグラフ上に2点A,Bがあり,A,Bの $ x $ 座標はそれぞれ-6,4である。Aと $ y $ 軸について対称な点をCとし,次の(1)~(3)の問いに答えなさい。

(1) 点Cの座標を求めなさい。

 

(2) 2点A,Bを通る直線の式を求めなさい。

(3) $ y $ 軸上に △BPC の周の長さが最も短くなるような点Pをとる。また,線分AB上または放物線上の2点A,B の間に,△QAC の面積が △BPC の面積の2倍となるように点Qをとる。
 このとき,Qの $ x $ 座標をすべて求めなさい。

中学生の数学 難問 グラフ【難しい問題】
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中学生の数学│難問の解説

中学生の勉強のやり方今回の問題は図形の知識も必要となる2次関数($ y=ax^2 $)の問題ですね。
(1)と(2)は本当に基礎・基本の問題になっています。
もし、(1)と(2)の問題を解くのに時間がかかったり、迷ったりする場合は、基本問題を中心に解き直し、シッカリ理解しておきましょう!
(3)は複合問題になりますので考えるのに時間がかかってしまうかもしれませんが、問題文の意味をよく理解して、早く正確に‥頑張ってください^^

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問題(1)の解説

点Cは、点Aの $ y $ 軸について対称な点なので(↓)の位置になります。
中学生の数学 難問 グラフ【難しい問題】解説

点Aの $ x $ 座標は-6なので点Cの $ x $ 座標は 6 になります。
$ y= $-$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ の $ x $ に6を代入すると、
$ y= -9 $ となります。

ですのでCの座標は(6,-9)となります。

先に点Aの座標(-6,-9)を求めてから、点Cの座標を求めてもOKです!

問題(2)の解説

2点A,Bを通る直線の式は1次関数の式の求め方の基本ですね。
※基本を忘れている人は⇒ 『1次関数の式を求める』を確認してください。

点A(-6,-9),点B(4,-4)ですので、
変化の割合= $ \frac{5}{10} $ = $ \frac{1}{2} $ となります。
$ y $ = $ \frac{1}{2} $$ x $ +b この式に点Aの $ x $ と $ y $ を代入しbを求めます。

$ -9 $ = $ \frac{1}{2} $ ×(-6) +b
$ -9 $ = (-3) +b
b=-6 となります。

求めるのは2点A,Bを通る直線の式ですので、求めたaとbを代入して式を完成させます。
$ y $ = $ \frac{1}{2} $$ x $ -6

2点を通る直線の式を求めるのは1次関数の基本中の基本なので、もしこの問題が出来なかったり、時間がかかってしまった人は、1次関数の基本問題を復習しておきましょう!

問題(3)の解説

点AとC $ y $ 軸について対称な点ですので、点Pの位置は点Aと点Cを直線で結んだ $ y $ 軸との交点。つまり(1)の問題の『2点A,Bを通る直線の式』の切片になります。
中学生の数学(難問)解説(3)-1

次に考えるのが『面積』を求めること‥ではありません。
この図を見た時に、点Qの位置を考えます。

点Qは『線分AB上または放物線上の2点A,B の間』となっています。
△BPC の面積の2倍の△QAC の点Q線分AB側を底辺として、△BPCと△QACを見てみましょう!

色々な考え方ができますが、△ABCの面積を10割(100%) と考えると、△BPCの面積はその4割。△APCの面積は6割‥という事に気付けますか?
中学生の数学(難問)解説(3)-2

△ABC,△BPC,△QAC 3つの三角形は線分AB側を底辺と考えると、高さは同じです。
高さが同じなので、面積の差は底辺によるもの。今回は△BPCの2倍の面積と考えればよいので、辺PBの2倍の長さの辺AQと考えられれば答えは簡単で、線分AB上のQは(2,-5)とスグに分かるはず。

今回の問題は考えやすい数字になっているので計算もいりませんね^^

これで線分AB上の点Qが解りました。

次に『放物線上の2点A,B の間』のQについて考えてみましょう。
今度は △QACの一つの点が見つかったので、辺ACを底辺として同じ高さの点を見つければOK!

線分AB上のQは(2,-5)ですので、辺ACを底辺として考えると、同じ高さの点は $ y=-5 $ のライン上‥ということになります。
ですので、関数 $ y= $-$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ の $ y $ に「-5」を代入し、$ x $ の値を求めます。

$ x $ = ±$ 2\sqrt{5} $ となりますが,点Qは「放物線上の2点A,B の間」ですので、$ -2\sqrt{5} $ がもう一つの答えとなります。

面積を求めてから辺ACと底辺として高さを求めることも可能ですが、時間がかかり過ぎてしまいますので、なるべく簡単に答えにたどり着ける方法・考え方を身につけておきましょう!

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中学生の数学│難問 の解答

(1) C(6,-9)

(2) $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x-6 $

(3)$ -2\sqrt{5} $ ,2

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