【中学生の数学│難問】(受験問題)1次関数の難問 【中学数学 難しい問題】

今回は1次関数を習った中学2年生でも解ける問題ですが、高校受験の問題の中でも正答率がかなり低かった難問です。難しい問題ではありますが、基本をシッカリ押さえておけば解ける問題でもあります。制限時間10分程度でチャレンジしてみてくださいね!
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中学生の数学│難問 1次関数の問題

 下のグラフのように,4点O(0,0),A(0,12),B(-8,12),C(-8,0)を頂点とする長方形と直線Lがあり,Lの傾きは0.75である。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)直線Lが点Cを通る時のLの切片を答えなさい。

(2)辺BCと直線Lとの交点をPとし,Pの $ y $ 座標を $ t $ とする。また,Lが辺OAまたは辺ABと交わる点をQとし,△OQPの面積をSとする。

[1] 点Qが辺OA上にあるとき,Sを $ t $ の式で表しなさい。

[2] S=30 となる点 $ t $ の値をすべて求めなさい。

中学生の数学【難問】一次関数の問題 グラフ
 

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中学生の数学│難問 1次関数の問題 解説

一言に「難問」と言っても色々なタイプの難しい問題があります。
今回ご紹介している1次関数の難問は「時間があれば解ける」もしくは「気付ければ解ける」といったタイプのものです。解き方によっては中学2年生でも解けます。
色々な問題に触れ、考えることで考える力も身に付きますし、考えるスピードや計算も早くなりますので是非解いてみてくださいね!

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問題(1)の解説

(1)は基本問題ですね!

直線Lの傾き(変化の割合)は0.75($ \frac{3}{4} $)です。点Cの座標は(-8,0)ですので、1次関数の式『 $ y=ax+b $ 』に「 $ x=-8 $ 」「 $ y=0 $ 」「 $ a=\frac{3}{4} $ 」を代入すると、
$ 0=\frac{3}{4} × (-8)+b $
$ 0= (-6)+b $
$ b= 6 $ となります。

問題(2)[1] の解説

(2)[1] は発展問題です。難易度はそれほど高くありません。

「点Pは辺BC上にある」という事ですので、[1] の問題の『点Qが辺OA上にあるとき』というのは、点P(-8,0)→点Q(0,6) から点P(-8,6)→点Q(0,12) までという事になります。

[1] の問題は△OQPの面積Sを求める式ですから、辺OQを底辺とすると△OQPの高さは「8」で固定となります。

$ t $ は点Pの $ y $ の値ですから、$ t $ に6を足せば辺OQの長さとなります。
高さは「8」ですので、
S=(底辺:t+6)×(高さ:8)× $ \frac{1}{2} $ となります。
この式をまとめ $ S=4t+24 $ となります。

※この問題の(1)と(2)[1]でつまづいている人がいましたら、基礎・基本を理解していないという事ですので、基本問題を解き直して理解を深めておきましょう!
無理して難しい問題に挑むよりも基礎固めをシッカリしておくことをおススメします。

問題(2)[2] の解説

※中学3年生の解き方の例

問題は『 S=30 となる点 $ t $ の値をすべて求めなさい。』ですので、点 $ t $ の値は2つ以上あると考えられますよね。
下のグラフを見れば分かると思いますが、S=30になる点 $ t $ の値は辺OA上に点Qがある場合と、辺AB上に点Qがある場合の2通り考えられます。

まずは辺OA上に点Qがある場合の点 $ t $ の値ですが、
一次関数の難問の解説
30=4t+24
4t=30-24
4t=6
t= $ \frac{3}{2} $ となります。

そして点Qが辺AB上にある場合の点 $ t $ の値は、
一次関数 難問の解説
△ODP - △ODQ = 30 とすればいいので、これに気付ければ考え方自体は簡単なものです。
しかも△ODPの面積は、[1]の式 $ S=4t+24 $ がそのまま使えます。ですので、△ODQの面積を表すことができれば問題が解ける‥という事になります。

△ODPの底辺を辺ODとすると、辺ODの長さは[1]の問題でも使いましたが、$ t $ に6を足せば辺ODの長さとなります。
高さは、$ t $ =6のとき「0」、$ t $ =12 のとき「8」となります。・・・これ、一次関数の式を求める問題に似ていますよね?

こんな感じです→2点(6,0),(12,8)を通る直線の式を求めなさい。この式が出せない人は問題(1)の解き方を見直すか『1次関数の式を求める』を読んでみてください。

ということで高さを求める式は、
高さ= $ \frac{4}{3}t $ -8 となります。

ですので△ODQの面積を表す式は、
△ODQ:S = ($ t+6 $ )× ($ \frac{4}{3}t $ -8) × $ \frac{1}{2} $
△ODPの面積を表す式は、
△ODP:S= $ 4t+24 $ ですので、
△ODP - △ODQ = 30 として方程式を解けば答えにたどり着くことができます。

上記の方法では中学2年生では解けませんが、中学2年生で習った内容でも解くことはできます。
中学2年生であれば、長方形OABCの面積から△OAQ,△OCP,△BPQの面積をひくような方程式をつくればOKです。.
今回の問題は、15~20分程度の時間があればそれほど難易度は高くないかもしれません。しかし限られた試験時間(約10分程度)の中でこの内容を考え、答えまで辿り着くのは難しいですね^^;
早く正確にできるようにトレーニングしてみてくださいね!
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中学生の数学│難問 一次関数の問題 解答

(1) 6
(2)[1] $ y=4t+24 $
(2)[2] $ \frac{3}{2} $,9

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