多項式の乗法・乗法公式 ~中学3年生の数学~

多項式の乗法と乗法公式について説明をしていきます。
途中、非常に重要なポイントがありますので、そこを見逃さないようにしてくださいね!

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多項式の乗法・乗法公式

多項式の乗法は【多項式×単項式】と【多項式×多項式】がありますが、このページでは【多項式×多項式】について解説をしていきます。【多項式×単項式】を確認したい人はの計算~2~ 単項式と多項式・乗法と除法【中2数学】を見てみてください。

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多項式の乗法

多項式の乗法は、前の多項式の項をそれぞれ、後ろの多項式の項全てに掛けるのですが、文章で書くと解りにくいので下を見てください。

多項式の乗法(多項式×多項式)

(a+b)(c+d)
=a×c+a×d+b×c+b×d
=ac+ad+bc+bd となります。
かけ算の部分が上の図の①~④の部分ですね。

前の多項式を基準に総当たりでかけ算をしていく‥というように覚えておけばOK!

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多項式の乗法も符号を忘れずに!

上の説明では解りやすいように全て正の符号で説明しましたが、負の符号が付いている場合は、負の符号も忘れずに計算しましょう。意外と忘れる人が多いので注意してくださいね!

例えば・・・

(a-b)(c+d)
=a×c+a×d+(-b)×c+(-b)×d
=ac+ad-bc-bd

(a-b)(-c+d)
=a×(-c)+a×d+(-b)×(-c)+(-b)×d
=-ac+ad+bc-bd

というようになります。

POINT 負の符号も忘れずに!自分が『忘れやすい!』と思ったら、計算後に符号チェックをしておこう!

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理解を深めるための説明

(a+b)(c+d) の計算で、(a+b)をAに置き換えて考えてみましょう。
そうすると、(a+b)(c+d) は【 A(c+d) 】となります。こうすると【単項式×多項式】なので、今までの知識で解くことができますよね?

A(c+d)=Ac+Ad ここにA=(a+b)を代入します。
(a+b)×c + (a+b)×dとなり、
=a×c+b×c+a×d+b×d
=ac+ad+bc+bd ※順番は違いますが上の説明と同じ‥となります。

さらに長方形の面積での説明等もあるのですが、長方形の面積での説明は乗法公式の方でしていきますのでここでは省略します。

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乗法公式

乗法公式が使える多項式の乗法というのがあります。
(x+1)(x+3) というような (x+a)(x+b) という形です。

乗法公式のパターンが[↓]
多項式の乗法(乗法公式パターン)
上の多項式の乗法のやり方でも基本パターンを使ってもパターン2、パターン3が導き出せます。
上の多項式の計算方法のやり方での計算と乗法公式の違いを見てみましょう‥
多項式の乗法(乗法公式)

POINT 【乗法公式に関して】私は普段、公式はなるべく覚えないようにする勉強方法で数学の基礎力を上げ、点数を伸ばすようにしていますが、乗法公式に関しては『覚えておくべき公式』としています。暗記するというよりも、徹底的に繰り返し計算をする‥使えるようにするというイメージです。
その計算をする場合、更に因数分解をすることも意識しています。(↓をご覧ください)
中学生の数学【中3】乗法公式と因数分解
乗法公式を使って展開の練習をしながら、次に勉強するのは乗法公式を使った因数分解なんだ‥という事を理解しておくだけで効果があります。ここを読んだ人はすでにコレを知りましたので大丈夫です^^
更に、なぜ因数分解をするのかというと、2次方程式を解くために必要だから‥とこの時点では考えておけばOKです。

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理解を深めるための説明

多項式の乗法の説明や乗法公式の説明で、下のような『長方形の面積での説明』が記載されていますが、中学生にとってはなかなか理解しにくいようですので念のため説明しておきます。

乗法公式の説明:長方形の面積

上の図で四角の中の文字式が部分的な面積となっているので、全てたしたものが合計の面積の文字式となります。
別な考え方で、右側に書いたのが【タテの長さ×ヨコの長さ】による長方形の面積を計算した文字式になります。
結果、同じ文字式になる‥という乗法公式の説明です。
ここに関しては、理解できるなら理解しておきましょうね‥程度で大丈夫です。

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基本的なルールを覚えたら、あとはどんどん計算のトレーニングを続けましょう!
上でも説明しましたが、展開の後には因数分解を学ぶことになります。
因数分解のことや正負の符号ミスなどを意識しながらのトレーニングをおススメします^^
多項式の計算問題を準備しました。同じ問題でも2~3度繰り返しトレーニングすることをおススメします。

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