【質問の解説】連立方程式の応用問題:割合の問題2問

中学生から質問があった数学の問題への回答シリーズです。
今回は連立方程式の応用問題の中でも入試類似問題の割合の問題です。
考え方のコツさえ掴めれば解けますので、進めていきましょう!

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連立方程式の応用問題:割合の問題

割合の問題は連立方程式の問題の中でも、なぜか苦手としている人が多いので、以前に解説した問題の他にも質問が来ていました。今回は似ているようで少し違う考え方をする2問分を解説していきます。

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質問があった連立方程式の応用問題(改)

質問があった問題を少し変更して掲載しています。

◆連立方程式の応用問題 ~割合の問題(1)~
ある中学校の生徒数は180人である。このうち,男子の20%と女子の16%の生徒が自転車で通学しており,自転車で通学している男子と女子の数は等しい。このとき,自転車で通学している生徒は全部で何人か求めなさい。
◆連立方程式の応用問題 ~割合の問題(2)~
ある学校の昨年の生徒数は200人であった。今年の生徒数は昨年と比べて,男子が5%増え,女子が10%減ったので,今年の生徒数は男女合わせて192人であった。今年の男子生徒数は何人か求めなさい。
読み進める前に1度考えて、やってみることが実力アップのポイントです!
自分で解く力、考える力を身につけることが重要ですからね!

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この問題の考え方とポイント

もし、この問題が解けないのであれば、どちらの問題も、考える前に情報を整理して書き出してみましょう。
次に何をx、yにするのかを考え、それでイコールの関係を作れるのかを考えていきます。

応用問題を解くポイント1.考える前に情報を整理して書き出す
2.何をx、yにするのかを考えて書き出す
3.イコールの関係を見つけて連立方程式を作る
割合の表し方が分な人は(↓)

割合の問題(1)の考え方

下の表で何をx,何をyにすれば方程式が作れるのか考えてみましょう。

生徒数【全校生】 180人
生徒数【男子】
生徒数【女子】
自転車通学の割合【男子】 男子の20%
自転車通学の割合【女子】 女子の16%
自転車通学【男子人数】
自転車通学【女子人数】

問題が解けない時、何がわからないのかを考えることも重要です。
上の表を見ても式が作れない場合は(↓)に進んで考えてみましょう。

※上の表で式が作れなかった人へ※
(1)男子の人数をx,女子の人数をyとして,全校生を表す式をつくりなさい。
(2)男子の人数をxとして,自転車通学をする男子の人数を表す文字式をつくりなさい。
(3)自転車通学をする男子と女子の関係を等式を使って表しなさい。

このようにステップ分けすることで『問題が解きやすくなる』ということもありますし、自分の問題がどこにあるのかを知ることもできます。
もし、上記の(1)~(3)が解けない場合は(↓)文字式での関係の表し方を復習しておくことをおススメします。

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割合の問題(2)の考え方

割合の問題では割合の元になっている数をx,yとする。
今回の問題では昨年と今年、どちらが割合の元になっている数でしょうか。
2つのイコールの関係は、【=200】と【=192】で考えると考えやすい。

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問題の解答と解説

もう一度言っておきますが、自分で考えて考える力をつけるようにしましょうね!

中学生からの質問イメージ

割合の問題(1)の解答・解説

男子の人数をx、女子の人数をyとすると生徒数は180人なので
x+y=180 という式が成り立ちます。

また、自転車で通学している男子(男子の20%)と女子(女子の16%)の数は等しいので、
0.2x=0.16y という式が成り立ちます。

この2つの式を連立方程式として解くと、
x=80,y=100 となります。

問題は『自転車で通学している生徒数』を答える問題ですので、
0.2x=16‥16人,0.16y=16‥16人
※0.2x=0.16yなので、片方だけ計算すればOK

自転車で通学している生徒数=32人

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割合の問題(2)の解答・解説

昨年の男子の数をx,昨年の女子の数をyとすると,昨年の生徒数は200人なので
x+y=200 という式が成り立ちます。
※昨年の人数の式

今年は男子が5%増え,女子が10%減って192人なので,
1.05x+0.9y=192 という式が成り立ちます。
※今年の人数の式

この2つの式を連立方程式として解くと、
x=80,y=120 となります。

問題は『今年の男子生徒数は何人か』ということですので、
今年の男子生徒数=1.05x=84

今年の男子生徒数 84人

※注意※
方程式の作り方は考え方しだいで色々と考えられます。上記の解説と違う式で考えてもOKです。

例えば(2)の2つの目式を昨年との人数差で式を作ると【 0.05x-0.1y=-8】というよう式でも表せます。
問題が解けた、解けないという考え方ではなく、考え方が出来ているか‥ということもチェックしておきましょう!

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