【相似な図形】テストに出やすい問題と解説【中学3年生 数学】

今回は中学3年生の図形『相似な図形』のテストに出やすい問題‥というプリントの改良版です。
定期テスト等の前に見直してほしい問題になっています。
PDFをダウンロードできますので、プリントして問題を解きましょう!

この記事は中学3年生向けの内容です。

【相似な図形】テストに出やすい問題

中学生の数学 図形イメージ

中学生の数学の中でも、図形の問題は得意不得意がハッキリと別れる分野になっています。苦手だからといってそのままにしておくと、苦手意識が残ったままになってしまいます。今より少しでもできる自分になるようにしていきましょう!

今回の問題は、他の問題に応用がきく問題にしました。解説で詳しく説明していきますので、理解して解けるようにチャレンジしていきましょう!

問題に取り組むときの流れは・・・

1.問題を解く

2.丸つけをする
  ※間違えた問題はハッキリと×をつける。×印はテスト前等に見直す目印です!

3.間違えた問題、できなかった問題、あやふやだった問題の解説を読んで理解する。
※図形問題の場合、図形の認識能力が低い(成長していない)場合があります。解説を読みながら、図形のポイントを読み取れるようにしていきましょう。

4.解説を見ずにやり直す。

解けない問題があったら2~4を繰り返す。
※注意※ 解説を見ながら問題を解いては自分の力にならないので、解説を見ないで解くようにしましょう!

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相似な図形 問題

問題
相似な図形 テストに出やすい問題
※図形クリックで拡大

相似な図形 問題1(1)右の図で,点Pは線分ACとBDの交点であり,AB//DCである。点Pを通り,ABに平行な直線を引き,BCとの交点をQとする。
AB=18cm,CD=12cm,BD=18cmとするとき,次の問いに答えなさい。
①PQの長さを求めなさい。
②PDの長さを求めなさい。
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相似な図形 問題2(2)右の図で,平行な直線a,b,cが直線dとそれぞれA,D,Eで交わり,直線eとそれぞれA, B, Cで交わる。直線fは直線dと並行で,平行な直線a,b,cとそれぞれF, G, Hで交わる。AF=4cm,BG=6cm,CH=9cm,FG=2cmとするとき,次の問いに答えなさい。

①BDの長さを求めなさい。
②GHの長さを求めなさい。
③台形ABGFと台形BCHGの面積の比を最も簡単な整数で表しなさい。
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相似な図形 問題2(3)右の図のように,AD//BC,AD=4cm,BC=11cm の台形がある。ACの中点をF,DBの中点をGとし,AGの延

長とBCとの交 点をHとする。このとき,次の問いに答えなさい。
①線分BHの長さを求めなさい。

②線分GFの長さを求めなさい。
③△AEDの面積と台形ABCDの面積を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

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【相似な図形】テストに出やすい問題 解説

中学生イメージ

今回の解説は少し詳しく書いています。

必要な部分は人それぞれ違うと思いますが、考え方の基本となる二重線の中はできるだけ読んでおきましょう!
もし問題が解けない場合は、「問題が解ける」前に「理解する」ことを意識して解説を読んでくださいね!

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問題(1)の解説

図形を見た時に、●:●とか●●cmという数字も大事なのですが、まずは相似な図形を探しましょう!
問題(1)には相似の関係にある三角形が3組あります。
相似な図形 問題1
△APB∽△CPD,△BPQ∽△BDC,△CPQ∽△CAB
相似な図形の問題 解説図
△APB∽△CPD で、その相似比は3:2です。そうすると、△BPQ:△BDC=3:5となります。
ココまで分かればPQもPDも計算で求められますね。
もう少し詳しく説明します。
上の説明で理解できる人はこの説明を飛ばして次の問題にうつりましょう。

△APB∽△CPD,△BPQ∽△BDC,△CPQ∽△CABの説明

AB//PQ//DCですので、

△APBと△CPDにおいて
∠PAB=∠PCD(錯角)
∠PBA=∠PDC(錯覚)
ですので、相似条件の【2組の角がそれぞれ等しい】に当てはまります。
※対頂角でもOK。

△BPQと△BDCにおいて
∠BPQ=∠BDC(同位角)

∠BQP=∠BCD(同位角)
ですので、相似条件の【2組の角がそれぞれ等しい】に当てはまります。

△CPQ∽△CABは省略します。

相似比を求める前に、その図形が本当に相似の関係にあるのかを確認しましょう!

相似な図形の問題 解説図

△APB∽△CPDでABとCDが対応しているので、AB=18cm,CD=12cmを使って相似比を求めます。
△APB:△CPD=18:12=3:2

もちろん、BP:DPも3:2になります。
そうすると、△BPQと△BDCの相似比は3:5となります。

この相似比が分かれば、
3:5= PQ:12 でPQの長さが求められます。

PDの長さはBD=18cm,PD:BD=2:5ですので、
PD:BD=PD:18

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問題(2)の解説

①②の問題はカンタンな計算と比率の問題です。
AF=4cmでd//fだから、DGもEHも4cmという事になります。また、BG=6cmだからBD=2cm、CHが9cmだからCE=5cm。
△ABD∽△ACEで相似比が2:5なので、FG:GH=2:3となります。
下の図のように長さ(情報)をまとめることをおススメします。
相似な図形の問題(2) 解説
③の問題は台形ABGFと台形BCGHの問題ですが、下の図のように直線eと直線fを延長して考えてみましょう。
※もう少しカンタンに解ける方法(考え方)がありますが、誤解して使われるおそれがあるのでここでは触れないでおきます。

直線eと直線fを延長してできた交点をPとすると、△PAFと△PBG、△PCHが相似になります。相似比は底辺の長さそのままで4:6:9となります。三角形の面積比はその2乗‥という事になりますね。
③の問題だけもう少し詳しく説明します。
上の説明で理解できる人はこの説明を飛ばして次の問題に進みましょう。

台形ABGFと台形BCGHは問題の図形のままだと相似でもないですので、相似な図形(三角形)を作るために直線eと直線fを延長して、相似な図形(三角形)を作りました。直線a,b,cは平行なので、同位角は等しくなります。平行な線があると、【2組の角がそれぞれ等しい】という相似条件が作りやすいんですね^^

△PAFと△PBG、△PCHが相似になり、相似比は底辺の長狭通の4:6:9です。
面積比は16:36:81となります。

△PBGの面積比36には、△PAFの相似比16が含まれていますので、台形ABGFの面積比は20となります。
△PCHの面積比は81なので、△PBGの面積比36を引いて、台形BCGHの面積比は45となります。

この20:45を最もカンタンな整数の比に直してくださいね^^

実はもっと簡単な考え方、求め方があるのですが、この問題で覚えて欲しいのは上で説明した基本的な解き方ですので、説明しません。カンタンな解き方ではなく、考え方を学んで欲しいからです。
数学は色々な考え方、解き方が存在します。しかし、中学生の数学では、ただ解ける‥のではなく、その基本的な考え方を知る‥というところを大切にしてくださいね^^

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問題(3)の解説

①の問題‥まず求めたい辺BHを含む図形(三角形)を見つけます。この問題では△BHGと△BHAという三角形が存在しますが、長さを求めるので、その図形と相似or合同になっている三角形も探します。
この問題の場合、DG=BGという条件も与えられていますので、△AGD≡△HGBはすぐに見つけられると思います。
相似な図形の問題(3) 解説図3
①ができると②の問題はカンタンです。BC=11cm、BH=4cm(①の答え)ですので、HC=7cm、GFは中点連結定理により、$ \frac{1}{2} $HCという事になります。
③の問題は△ADE∽△CBEの相似比から考えていきましょう。
△AED:△CEB=4:11ですので、面積比は16:121という事になります。
次に△AEDと△ABEの面積比は、4:11、△AEDと△DECの面積比も4:11となります。
②と③の問題をもう少し詳しく説明します。
上の説明で理解できる人はこの説明を飛ばしてOKです。
①の解説【追記】
GFを辺AB側に延長し、ABとの交点をQとすると、△BDAの中点連結定理でGQ=2cmとなります。次に、△ABHの中点連結定理として考え、GQ=2cmなのでBHは4cmとなるという考え方もできます。
(下の②の解説図参照)

②の問題の解説

①が解けなくても、中点連結定理は忘れていても大丈夫です。
下の図のように辺GFを延長して点Pをとります。
△DGP∽△DBCで、DG=GBなので、△DGP:△DBC=1:2となります。
相似な図形の問題(3) 解説図2

1:2=GP:11
GP=5.5

また△CPF∽△CDAで同じく1:2なので、
1:2=FP:4
FP=2

GF=5.5-2=3.5 ということになります。

③の問題の解説

△AED∽△CEBは、対頂角と錯角、錯角で全ての角が等しいという事が言えます。
△AED:△CEB=4:11ですので、面積比は16:121・・・ここまでは相似比と面積比の基本的な関係です。

相似な図形の問題(3) 解説図4

考えにくいのは、△AEDと△ABE、△AEDと△DECの面積比だと思います。
まず、面積比が相似比の2乗になる‥というのは、相似な図形の場合の話です。
△AEDと△ABE、△AEDと△DECは相似ではありませんので、これに当てはまりません。

△AEDと△ABEで、辺BD側を底辺と考えると、△AEDと△ABEは点Aまでが高さとなりますので2つの三角形は同じ高さ‥という事になります。
そうすると、2つの三角形の違いは底辺の長さの違いですから、DE:EB(=4:11)がそのまま面積の比になる‥ということです。
※納得いかない人は下の2重線で‥

△AEDと△DECも同様に、AE:EC(=4:11)が面積の比となります。
△AED:△DEC=4:11ですが、上で△AEDの面積比を16としていますので、4倍して、
△AED:△DEC=16:44とします。

同じく、△AED:△ABE=16:44

△AEDはそのまま16とし、台形ABCDは△AED+△ABE+△DEC+△CEBで求めます。

POINT 底辺の比が面積の比となるのは・・・
底辺の比が面積の比となると説明したのは、相似ではない三角形で高さが同じだから‥です。
例えば、底辺3・高さ4の三角形Aと底辺9・高さ4の三角形Bの場合、Aの面積は3×4÷2で6、Bの面積は9×4÷2で18となります。底辺の比1:3がそのまま面積の比にもなる‥ということです。※他の数字でも確認してみよう!
相似な図形の場合、高さも変わるので、相似比の2乗になる‥という事を覚えておきましょう!

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【相似な図形】テストに出やすい問題 解答

(1)
① 7.2cm($ \frac{36}{5} $cm)
② 7.2cm($ \frac{36}{5} $cm)

(2)
① 2cm
② 3cm
③ 4:9

(3)
① 4cm
② 3.5cm
③ 16:225

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