【中３数学】因数分解の応用問題【質問の解説】
同じような疑問を持っている人も多いと思うので参考にしてみてくださいね^^
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因数分解の応用問題
多項式・因数分解の応用問題は様々な問題が考えられます。しかし、単元テストや定期テストに出る応用問題は、ある程度傾向があります。今回解説する問題もテストに出やすい問題ですのでシッカリとチェックしておきましょう。
応用問題とはいえ、基本的な問題を理解できるのであれば、今回の解説も理解できると思います。考え方の幅を広げるためにもシッカリと考えながら進めていきましょう。
基本が出来ていないと感じる人は【↓】の記事から始めましょう。
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問題１：くふうして計算する問題
次の式をくふうして解きなさい‥という問題の中で、どうやって解こうか迷う時がありますよね。
今回質問があった問題も【 ３３²－２７² 】という問題で、迷う人も多いかもしれないですね。
例えば【 ３３² 】をくふうして計算しなさいという問題なら（３０＋３)² にしようかと思うかもしれません。
今回の問題の考え方で迷うのは２パターン！
１つ目の考え方は
（３０＋３)² －（３０－３)²
これを展開すると、
（900＋180+9）－（900－180+9）
＝360
２つ目の考え方は
（３３＋２７)(３３－２７）
＝６０×６
＝360
さて、あなたはどっちで計算しますか？という事なんですが、テスト中は迷っているくらいなら、どっちで計算してもOKです。ただし、２つ目の考え方の方がより簡単ですよね^^
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問題２：式の値を求める問題
式の値を求める問題も少しひねった問題になると考えにくいようですが、そのポイントをチェックしておきましょう。
(式１)２ｘ²＋４ｘｙ＋２ｙ²
(式２)２ｘ²+２ｘｙ＋２ｙ² という感じの問題ですね。
式１は因数分解ができれば解ける問題。（式２）はさらに１歩進んだ問題になります。
ｘ＝３，ｙ＝－２などの場合は、代入すれば計算できますが今回の問題では難しいですよね。
では、（式１）を解いていってみましょう。
まずは因数分解をしてみます。
２ｘ²＋４ｘｙ－２ｙ²
コレをこのまま共通因数２をくくり出すと
＝２（ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ² ）
こうするとカッコの中は乗法公式の因数分解が使えますね
＝２（ｘ＋ｙ)²
ｘ+ｙ＝－４ですのでこの式の（ｘ＋ｙ）に－４を代入します。
２×（－４)²＝３２ という事になります。
（式２）の方はもうひと手間必要です。
考え方的にはｘ＋ｙとｘｙの式に変形させる‥という事です。
（式１）２ｘ²＋４ｘｙ－２ｙ²＝２（ｘ＋ｙ)² となりますので、
（式２）は次のように考えます
２ｘ²+２ｘｙ＋２ｙ²
＝２ｘ²＋４ｘｙ－２ｙ²－２ｘｙ
＝２（ｘ＋ｙ)² －２ｘｙ
ココに問題で指定されている数を代入
＝２×（－４)²－２×３
＝２６
そして、（式１）を解いた時点で『４ｘｙ』なら乗法公式で因数分解できるということが分かっています。ですので、「２ｘｙ」を「４ｘｙ」に合わせてあげればいいんです。
２ｘｙを『４ｘｙ－２ｘｙ』と表記するだけなんです。コレだけで解けるようになります。
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問題３：証明問題
下の図のように、おうぎ形OAC と おうぎ形OBD があります。弧ACと弧BDに挟まれた部分の面積をS，二つの弧に挟まれた部分の真中を通る弧の長さをLとするとき、S＝L(ａ－ｂ) となることを証明しなさい。
Ｓの文字式とL(ａ－ｂ)の文字式が同じになることを文字式を使って表していきます。
Ｓはおうぎ形OACの面積からおうぎ形OBDの面積を引いた残りですから、
Ｓ＝（πａ²－πｂ²）÷４
＝ π(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)÷４
弧Ｌを含む円の半径はａとｂのまん中ですので、（ａ+ｂ)÷２で直径は（ａ＋ｂ）という事になります。
そうすると弧Ｌを含む円の円周は直径×πなので、π(ａ+ｂ) 。
Ｌは円周の４分の１なので、Ｌの長さは π(ａ+ｂ)÷４ となります。
Ｌ＝π(ａ+ｂ)÷４
そうすると、
L(ａ－ｂ) ＝π(ａ+ｂ)÷４×(ａ－ｂ)
ですので、
L(ａ－ｂ) ＝π(ａ+ｂ)(ａ－ｂ)÷４
となり、Ｓの文字式と同じになりましたので、S＝L(ａ－ｂ) は成り立つことが証明できます。
※ホームページの表記上、π(ａ+ｂ)(ａ－ｂ)÷４としていますが、分数で表すようにしてください^^;
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中学生の数学は、解けることも大切なのですが考えている時間も大切です。ただ、時間は有限ですので、時間を上手に使ってくださいねっ！