【中１数学】素因数分解が分かる！

2021年3月14日2021年5月10日

この記事は素因数分解についての内容です。中学１年生の分野ですが、中学２、３年生にも理解しておいて欲しい内容になります。

素因数分解とは

素因数分解とは、自然数を素数のかけ算のカタチにすることです。
「素数」の「因数」なので「素因数」、素因数に分解するので「素因数分解」と覚えておきましょう^^

例えば、「6」を素因数分解すると、「2×3」ということになります。
文章で書かれると難しそうですが、実際にはカンタンな内容です^^

それでは、素因数分解のやり方と、なんで素因数分解なんて覚えなきゃいけないの？‥という話をします。

素因数分解のやり方

６＝２×３ とか ８＝２×２×２ くらいなら暗算でもできると思いますが、大きな数になると暗算では難しくなってしまいます。だから次のやり方で覚えておきましょう！

「30」を素因数分解します。

↓わり算の逆向きのような計算をしていきます。※下の図
１．30を割り切れる一番小さい素数は「２」ですので、「30」を「２」で割ります。30÷2＝15
２．15を割り切れる一番小さい素数は「３」ですので、「15」を「3」で割ります。15÷3＝5
３．５は素数ですので、ココまででOK！
４．30を割った数をかけ算のカタチで表します。30＝2×3×5

素因数分解の使い方

素因数分解は、最大公約数や最小公倍数を考えるときに便利です。
例えば↑で使った「30」と「42」で考えてみましょう。

42の素因数分解は↓ 

30=2×3×5
42=2×3×7　です。

最大公約数は、素因数分解して、同じ因数だけを使ってかけ算をします。
最小公倍数は、最大公約数に使わなかった数もかけて求めます。※下の図

素因数分解の問題

【１】次の数を素因数分解しなさい。
（１）40 　（２）324
（３）96　 （４）400

【２】300 に出来るだけ小さい自然数をかけて、その結果をある整数の平方(２乗の数)にしたい。
何をかければよいか。またその結果は何の平方になるか答えなさい。

【３】48を出来るだけ小さい自然数で割って、その結果を整数の平方(２乗の数)にしたい。
何で割ればよいか。またその結果は何の平方になるか答えなさい。

問題の解説と解答

【１】
（１）$ 40=2^3×5 $
（２）$ 324=2^2×3^4 $
（３）$ 96=2^5×3 $
（４）$ 400=2^4×5^2 $

【２】300を因数分解します。
$ 300=2^2×3×5^2 $

素因数分解したときに、素数の偶数乗になっていない数をかけて偶数乗になるようにします。
今回の場合は「３」だけが２乗になっていないので、
$ 2^2×3×5^2 $ に $ ×3 $ を追加することで $ 2^2×3^2×5^2 $ になります。

$ 2^2×3^2×5^2=900 $
$ 2×3×5=30 $

ある整数の平方（２乗の数）にするためには「３」をかける。
その結果、３０の２平方の数（900）になります。

【３】48を因数分解します。
$ 48=2^4×3 $

【２】の考え方と同じなのですが、素因数分解したときに素因数の偶数乗になっている数は、何かの自然数の２乗になっていますので、偶数乗になっていない数で割ります。

今回は偶数乗になっていない「３」で割ります。
「÷3」を追加すると‥↓

$ 2^4×3÷3=2^4=16=4^2 $ ということになります。