【中学生の数学│難問】（受験問題）中３ ２次関数の難しい問題
制限時間15分程度でチャレンジしてみましょう！
中学生の数学│難問 ２次関数 $ y＝ax^2 $ の問題
下の図のように，関数 $ y= $－$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ のグラフ上に２点Ａ，Ｂがあり，Ａ，Ｂの $ x $ 座標はそれぞれ－６，４である。Ａと $ y $ 軸について対称な点をＣとし，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
(１) 点Ｃの座標を求めなさい。
(２) ２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めなさい。
(３) $ y $ 軸上に △BPC の周の長さが最も短くなるような点Ｐをとる。また，線分ＡＢ上または放物線上の２点Ａ，Ｂ の間に，△ＱＡＣ の面積が △ＢＰＣ の面積の２倍となるように点Ｑをとる。
このとき，Ｑの $ x $ 座標をすべて求めなさい。
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中学生の数学│難問の解説
（１）と（２）は本当に基礎・基本の問題になっています。
もし、（１）と（２）の問題を解くのに時間がかかったり、迷ったりする場合は、基本問題を中心に解き直し、シッカリ理解しておきましょう！
（３）は複合問題になりますので考えるのに時間がかかってしまうかもしれませんが、問題文の意味をよく理解して、早く正確に‥頑張ってください^^
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問題（１）の解説
点Ｃは、点Ａの $ y $ 軸について対称な点なので（↓）の位置になります。
点Ａの $ x $ 座標は－６なので点Ｃの $ x $ 座標は ６ になります。
$ y= $－$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ の $ x $ に６を代入すると、
$ y= －９ $ となります。
ですのでＣの座標は（６，－９）となります。
問題（２）の解説
２点Ａ，Ｂを通る直線の式は１次関数の式の求め方の基本ですね。
※基本を忘れている人は⇒ 『１次関数の式を求める』を確認してください。
点Ａ（－６，－９），点Ｂ（４，－４）ですので、
変化の割合＝ $ \frac{5}{10} $ ＝ $ \frac{1}{2} $ となります。
$ y $ ＝ $ \frac{1}{2} $$ x $ +b この式に点Ａの $ x $ と $ y $ を代入しbを求めます。
$ －９ $ ＝ $ \frac{1}{2} $ ×(－６) +b
$ －９ $ ＝ (－３) +b
b＝－６ となります。
求めるのは２点Ａ，Ｂを通る直線の式ですので、求めたａとｂを代入して式を完成させます。
$ y $ ＝ $ \frac{1}{2} $$ x $ －６
問題（３）の解説
点ＡとC $ y $ 軸について対称な点ですので、点Pの位置は点Ａと点Ｃを直線で結んだ $ y $ 軸との交点。つまり（１）の問題の『２点Ａ，Ｂを通る直線の式』の切片になります。
この図を見た時に、点Ｑの位置を考えます。
点Ｑは『線分ＡＢ上または放物線上の２点Ａ，Ｂ の間』となっています。
△ＢＰＣ の面積の２倍の△ＱＡＣ の点Ｑ‥線分ＡＢ側を底辺として、△ＢＰＣと△ＱＡＣを見てみましょう！
色々な考え方ができますが、△ＡＢＣの面積を10割(100％) と考えると、△ＢＰＣの面積はその４割。△ＡＰＣの面積は６割‥という事に気付けますか？
△ＡＢＣ，△ＢＰＣ，△ＱＡＣ ３つの三角形は線分ＡＢ側を底辺と考えると、高さは同じです。
高さが同じなので、面積の差は底辺によるもの。今回は△ＢＰＣの２倍の面積と考えればよいので、辺ＰＢの２倍の長さの辺ＡＱと考えられれば答えは簡単で、線分ＡＢ上のＱは（２,－５）とスグに分かるはず。
これで線分ＡＢ上の点Ｑが解りました。
次に『放物線上の２点Ａ，Ｂ の間』のＱについて考えてみましょう。
今度は △ＱＡＣの一つの点が見つかったので、辺ＡＣを底辺として同じ高さの点を見つければＯＫ！
線分ＡＢ上のＱは（２,－５）ですので、辺ＡＣを底辺として考えると、同じ高さの点は $ y＝－５ $ のライン上‥ということになります。
ですので、関数 $ y= $－$ \frac{1}{4} $$ x^2 $ の $ y $ に「－５」を代入し、$ x $ の値を求めます。
$ x $ ＝ ±$ 2\sqrt{5} $ となりますが，点Qは「放物線上の２点Ａ，Ｂ の間」ですので、$ －2\sqrt{5} $ がもう一つの答えとなります。
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中学生の数学│難問 の解答
（１） Ｃ（６,－９）
（２） $ y= $ $ \frac{1}{2} $$ x－6 $
（３）$ －2\sqrt{5} $ ，２
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