【中学生の数学│難問】空間図形の難しい問題（２）

2021年1月25日2021年1月27日

中学３年生用の受験対策問題と解説になっています。難易度はやや高めです。

空間図形の受験問題

この問題は、３問あり、１問目は基本問題、2問目は発展問題、３問目が応用問題(難問)となっています。
受験で難しいと感じる問題でも、全てが難しいわけではないことが多いので、３問目は無理でも、１～２問目はシッカリと点を取るようにしていきましょう！

 

空間図形の受験問題 解説

 

【１】の解説と解答

△OBCは正三角形ですので、△OBMは30°-60°-90°の三角形になるという事はすぐに分かりますよね。
30°-60°-90°の三角形ということは、辺の比は１：２：$\sqrt{ 3 }$ になります。

ですので、$2:\sqrt{ 3 }=12:OM$
$OM=6\sqrt{ 3 }$ となります。

30°-60°-90°で、１：２：$\sqrt{ 3 }$ の三角形になると気付ければOK！

 

【２】（１）の解説と解答

このような問題を解くときは、下の平面図のように問題文に書かれている内容をまとめることが必要です。
キレイに書く必要はありませんが、書くことによって考えがまとまったり、問題を解くヒントを発見できたりします。

今回の問題はOR：RMを求めればいいのですが、比率を求めるときに最初にチェックするのが相似です。
この問題の場合、２組の相似な三角形を見つけられれば、解くことができます。その相似の関係を見つけるためにも上のような図を書くことが大切なんです。

その２組の三角形は、△EAB∽△EDO，△ROE∽△RMD です。

求めるのは、OR：RMですが、△ROE：△RMDを求めても同じ比率になります。
その比率を求めるために、MDの長さが中点連結定理で６cmということが分かるので、OEの長さを求める。
その為に△EAB∽△EDOを利用する‥という流れになります。

 

△EAB∽△EDOについて

点DはOCの中点ですので。
AB：DO＝２：１ですから、
△EAB：△EDO＝２：１

相似な図形の対応する辺の比も同じく２：１になりますから、BE：OE＝２：１
OBは12cmなので、OE=４cmとなります。

△ROE∽△RMDについて

△EAB∽△EDOでOE＝４cmと求められたので、
OE：MD＝４：６＝２：３
△ROE：△RMD＝２：３

ですので、OR：MR＝２：３となります。

 

【２】（２）の解説と解答

公立高校受験を目指す中学生にとってはかなり難しい問題ではないかと思いますが理解できる人はチャレンジしてみましょう。

底面になる△PBCから点Qまでの高さを求めるため、OMAの断面図(平面図)を書きます。
辺AMに直角なOI、QH、辺OMに平行なKP、辺OAに直角なMJを追加します。

現在分かっていること
・OA＝6
・OM＝AM＝$6\sqrt{ 3 }$
・OR:RM＝2:3
・AP:PM=4:5
・JはOAの中点

OIの長さを求めるためにまずはMJの長さを求めます。
AJ=６cm、AM=$6\sqrt{ 3 }$ ですので、三平方の定理からMJ＝$6\sqrt{ 2 }$となります。

△MOJで辺OAと辺AM、MJの長さが分かっているので、【辺OAを底辺とした時の面積】＝【辺AMを底辺とした時の面積】という一次方程式をつくりOIの長さを求めます。
$ \frac{1}{2}×12×6\sqrt{ 2 } $=$ \frac{1}{2}×6\sqrt{ 3 }×OI $
$OI＝4\sqrt{ 6 }$

△APK∽△AMR、△QPK∽△QOR、△PHQ∽△PIO等を使ってQHの長さまで辿り着きます。

AP:PM=4:5 より △APK：△AMR=4:9 となり、OR:RM=2:3なので、△QPK：△QOR＝2:3となります。
ですので、QP:QO=2:3、△PHQ：△PIO＝2:5 となります。

OIは $4\sqrt{ 6 }$ ですので、
HQ:IO($4\sqrt{ 6 }$)=2:5
HQ=$ \frac{8\sqrt{ 6 }}{5} $

 

答え：$32\sqrt{ 2 }$