【中学生の数学│難問】（受験問題）１次関数の難問 【中学数学 難しい問題】

2020年10月3日2020年10月6日

中学生の数学│難問　１次関数の問題

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中学生の数学│難問　１次関数の問題 解説

一言に「難問」と言っても色々なタイプの難しい問題があります。
今回ご紹介している１次関数の難問は「時間があれば解ける」もしくは「気付ければ解ける」といったタイプのものです。解き方によっては中学２年生でも解けます。
色々な問題に触れ、考えることで考える力も身に付きますし、考えるスピードや計算も早くなりますので是非解いてみてくださいね！

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問題（１）の解説

（１）は基本問題ですね！

直線Ｌの傾き(変化の割合)は0.75($ \frac{3}{4} $)です。点Cの座標は(-8,0)ですので、１次関数の式『 $ y=ax+b $ 』に「 $ x=-8 $ 」「 $ y=0 $ 」「 $ a=\frac{3}{4} $ 」を代入すると、
$ 0=\frac{3}{4} × (-8)+b $
$ 0= (-6)+b $
$ b= 6 $　となります。

問題（２）[１] の解説

（２）[１] は発展問題です。難易度はそれほど高くありません。

「点Pは辺BC上にある」という事ですので、[１] の問題の『点Qが辺OA上にあるとき』というのは、点P(-8,0)→点Q(0,6) から点P(-8,6)→点Q(0,12) までという事になります。

[１] の問題は△OQPの面積Sを求める式ですから、辺OQを底辺とすると△OQPの高さは「８」で固定となります。

$ t $ は点Pの $ y $ の値ですから、$ t $ に６を足せば辺OQの長さとなります。
高さは「８」ですので、
S＝(底辺：t+6)×（高さ：8）× $ \frac{1}{2} $ となります。
この式をまとめ $ S＝4t+24 $ となります。

問題（２）[２] の解説

※中学３年生の解き方の例

問題は『 S=30 となる点 $ t $ の値をすべて求めなさい。』ですので、点 $ t $ の値は２つ以上あると考えられますよね。
下のグラフを見れば分かると思いますが、S=30になる点 $ t $ の値は辺OA上に点Qがある場合と、辺AB上に点Qがある場合の２通り考えられます。

まずは辺OA上に点Qがある場合の点 $ t $ の値ですが、

30＝4t+24
4t＝30-24
4t＝6
t＝ $ \frac{3}{2} $ となります。

そして点Qが辺AB上にある場合の点 $ t $ の値は、

△ODP － △ODQ ＝ 30 とすればいいので、これに気付ければ考え方自体は簡単なものです。
しかも△ODPの面積は、[１]の式 $ S＝4t+24 $ がそのまま使えます。ですので、△ODQの面積を表すことができれば問題が解ける‥という事になります。

△ODPの底辺を辺ODとすると、辺ODの長さは[１]の問題でも使いましたが、$ t $ に６を足せば辺ODの長さとなります。
高さは、$ t $ ＝６のとき「０」、$ t $ ＝12 のとき「８」となります。･･･これ、一次関数の式を求める問題に似ていますよね？

ということで高さを求める式は、
高さ＝ $ \frac{4}{3}ｔ $ －８ となります。

ですので△ODQの面積を表す式は、
△ODQ：S ＝ ($ t+6 $ ）× ($ \frac{4}{3}ｔ $ －８) × $ \frac{1}{2} $
△ODPの面積を表す式は、
△ODP：S＝ $ 4t+24 $ ですので、△ODP － △ODQ ＝ 30 として方程式を解けば答えにたどり着くことができます。

中学生の数学│難問　一次関数の問題 解答

（１）　６
（２）[１]　$ y=4t+24 $
（２）[２]　$ \frac{3}{2} $，9

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