1次関数【1】1次関数の基礎・基本 ~中学2年生の数学~

今回から1次関数の解説をしていきますが、問題が解けない‥とか、意味が分からない‥という人は、何度かこのページを読んで、基礎・基本をシッカリと覚えていきましょう!
ある意味、このページの内容が理解できていれば、ほとんどの問題が解けるような内容になっています。

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1次関数

1次関数とは、2つの変数 $ x $,$ y $ について、$ y $ が $ x $ の1次式で表されるとき、$ y $ は $ x $ の1次関数であると言います。

ちょっと解りにくいですよね!
少し例をあげてみましょう‥

例えば‥水が5L入っている水槽に毎分4Lの水を入れると‥

5分間入れると、後から水槽に入れた水は(4L×5分間)で20Lですから、元々入っていた5Lと合わせて、水槽には25Lの水が入っていることになります。

この事を水槽の中の水を $ y $ L , 水を入れていた時間を $ x $ 分 として式で表すと、
$ y=4x+5 $ ということになります。

$ y=4x+5 $ は $ y $ が $ x $ の1次式で表されていますので、$ y $ は $ x $ の1次関数になっています。
このように式で表すと $ x $ の値がきまれば $ y $ の値が分かる。もしくは逆に $ y $ の値がきまれば $ x $ の値が分かるようになります。

この計算自体はカンタンなものですが、何分入れたかわからない時何リットル貯めるためには何分間入れればいいのかを知りたいときなどに、便利なのが1次関数の式です。

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1次関数の式

1次関数の式は $ y=ax+b $ で表されます。
上の例の $ y=4x+5 $ でいうと4がaで5がbということになります。

$ x $ と $ y $ は共に変化するので『変数(へんすう)』と言います。
aとbは決まった数で変化しませんので『定数(ていすう)』と言います。

a は中学1年生の比例の時に『比例定数』と習ったものです。1次関数では『変化の割合』『傾き』と言われますが、すべて同じ意味だと思っていて大丈夫です。
bは1次関数で新たに覚える言葉で、『切片(せっぺん)』といいます。

問題が解けない人の多くが「変数」や「変化の割合」、「切片」の理解が足りないことが多いので、それぞれの説明をしていきます。

定数・変数とは

変数はどんどん変わっていく数字のことだと思っておきましょう。
例えば、 $ y=2x+3 $ という式では、
$ x $ が1なら $ y $ は2×1+3=5ですし、
$ x $ が5なら $ y $ は2×5+3=13です。
このようにどんどん変わっていく数字‥というように覚えておきましょう。

定数は変わらない数字のことで、$ y=ax+b $ ではaとbが定数となります。
$ x $ と $ y $ は色々変わりますが、aとbは変わりません。

1次関数の式は $ y=ax+b $ で、aとbに数字を入れれば1次関数の式の出来上がり!となります。
例えば$ y=5x-6 $ というような感じです。
aとbの定数が決まれば、その法則のもと、$ x $ に求めたい数を入れればその数の場合の $ y $ を求めることができます。

a 変化の割合・傾き

「変化の割合」とは、$ x $ が1増えた時に $ y $ がどれだけ増えるかを表した数字になります。
例えば、$ y=2x+3 $ という式では、$ x $ が1増えた時 $ y $ は2増えます。

グラフで確認してみましょう。

緑のグラフが一番わかりやすいですね。
緑のグラフは変化の割合が「2」なので、$ x $ が1増えた時 $ y $ は2増えます。

青のグラフは、$ x $ が2増えた時 $ y $ は1増えます。
緑のグラフは、$ x $ が3増えた時 $ y $ は-1増えます。

変化の割合は、$ x $ が1増えた時に $ y $ がどれだけ増えるかを表した数字ですので、
$ 変化の割合=\frac{y の増加量}{x の増加量} $ で求めることができます。

b 切片(せっぺん)

1次関数での切片は $ x=0 $ の時の $ y $ の値。グラフでは $ y $ 軸上の $ y $ の値ということになります。

$ y=ax+b $ をよく見てみましょう。
bは $ x $ が0(ゼロ)の時の $ y $ の値になります。

a(変化の割合)がどんな数字だったとしても、$ x $ が0(ゼロ)ならば、$ ax $ は「0」になります。
$ y=ax+b $ で $ x=0 $ なら
$ y=a×0+b $
$ y=b $ ということになります。

グラフで考えると、$ x=0 $ というのは、$ y $ 軸上です。

どの式も切片の値が $ y $ 軸上の値になっていますよね!

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1次関数のグラフ

1次関数のグラフは1次関数の式 $ y=ax+b $ の $ x $ と $ y $ の値の変化を直線で表したものです。
線になっていますが、その線上であれば、どの位置でも $ x $ と $ y $ の値を知ることができます。

直線 $ y=ax+b $ のグラフは、a(傾き・変化の割合) が同じであれば、 $ y=ax $ と並行であり、切片の分だけ平行移動することになります。切片の値が「+3」ならば正の方向(上)に3、切片の値が「-3」ならば負の方向(下)に3移動した直線になります。

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【重要】絶対覚えておこう!

このページの内容は基礎・基本なのですべて重要なのですが、特に
この2点についてはシッカリと覚えておきましょう!3年生の関数でも使います。

グラフの書き方や読み方、式の求め方などを別記事で解説していきますが、実際にはこのページの内容を理解していれば解けるような問題ばかりです。基礎・基本を疎かにせず、シッカリと理解しておきましょう!
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