三平方の定理【中学３年生 数学】問題と解説

2020年12月17日

この記事は中学３年生向けになっています。

三平方の定理　問題と解説

数学の問題を解けるようにするためには、基礎的な知識の理解と問題を解くトレーニングが必要です。

三平方の定理の基礎知識は「三平方の定理の基礎・基本」、ルートの計算方法は「平方根の計算」で確認しておきましょう！

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三平方の定理 問題

下のLINKからPDFをプリントして問題を解いてみましょう！

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問題に取り組むときの流れは・・・

１．問題を解く

２．丸つけをする
　　※間違えた問題はハッキリと×をつける。×印はテスト前等に見直す目印です！

３．間違えた問題、できなかった問題、あやふやだった問題の解説を読んで理解する。

４．解説を見ずにやり直す。

２～４を繰り返す。
※注意※ 解説を見ながら問題を解いては自分の力にならないから、解説見ないで解くようにしましょう！

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問題⇒ 三平方の定理問題（PDF）

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三平方の定理 問題の解答と解説

問題【１】の解答と解説

今回の問題は、三平方の定理に慣れてもらうのが目的なので、４問中３問は斜辺を求める問題‥同じ考え方でできる問題になっています。

（１）斜辺の長さを求める問題なので、$c=\sqrt{ a^2+b^2 }$ のパターンです。
$x=\sqrt{ 3^2+4^2 }$
$x=\sqrt{ 9+16 }$
$x=\sqrt{ 25 }$
$x=5$

（２）斜辺の長さを求める問題なので、$c=\sqrt{ a^2+b^2 }$ のパターンです。
$x=\sqrt{ 6^2+3^2 }$
$x=\sqrt{ 36+9 }$
$x=\sqrt{ 45 }$
$x=3\sqrt{ 5 }$

（３）斜辺の長さを求める問題なので、$c=\sqrt{ a^2+b^2 }$ のパターンです。
$x=\sqrt{ 10^2+5^2 }$
$x=\sqrt{ 100+25 }$
$x=\sqrt{ 125 }$
$x=5\sqrt{ 5 }$

（４）斜辺ではない辺の長さを求める問題なので、$a=\sqrt{ c^2-b^2 }$ のパターンです。
$x=\sqrt{ \sqrt{ 13 }^2-3^2 }$
$x=\sqrt{ 13-9 }$
$x=\sqrt{ 4 }$
$x=2$

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問題【２】の解答と解説

（１）は方程式を作る問題です。斜辺は10cmですので、他の２辺を$ x $cm、$ 14-x $cmとします。
※周の長さが24cmなので、斜辺を引いた14cmが２辺を足した長さ。１辺が$ x $cmなら、もう１辺は$ 14-x $cmとなる。

この斜辺：10cm、他の２辺：$ x $cm、$ 14-x $cm を、三平方の定理の基本になっている【 $ a^2+b^2＝c^2 $ 】に代入すればOK！

$ x^2+(14-x)^2＝10^2 $
これを整理していきます。
$ x^2+196-28x+x^2＝100 $
$ 2x^2-28x+196＝100 $

（２）上の方程式を解けば２辺の長さになります。
$ 2x^2-28x+196＝100 $
$ 2x^2-28x+196-100＝0 $
$ 2x^2-28x+96＝0 $
$ x^2-14x+48＝0 $
$ (x-6)(x-8)＝0 $
$ x＝6,8 $

２辺の長さは６cmと８cmという事になります。
この長さが正しいか確認する場合は、$ 6^2+8^2=10^2 $ が成り立つか確認すればOK！

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問題【３】の解答と解説

【２】の答えの確認でも使いましたが、【 $ a^2+b^2＝c^2 $ 】が成り立つかどうかを確認していきます。
ｃは斜辺(一番長い辺)です。もし、ルートなどの数字が混ざっていて、どの数字が大きのかわからない時は、２乗してから比べてみましょう！

今回は式を書く前にすべて２乗して考えてみましょう。

（１）の問題の数4,5,6を２乗すると、16,25,36となります。
16+25＝36 は成り立ちませんので、直角三角形ではない。という事になります。

（２）の問題の数$\sqrt{ 2 }$,2,$\sqrt{ 5 }$を２乗すると、2,4,5となります
2+4＝5 は成り立ちませんので、直角三角形ではない。という事になります。

（３）の問題の数3,4,5を２乗すると、9,16,25となります
9+16＝25 は成り立ちますので、直角三角形だという事になります。

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問題【４】の解答と解説

【４】の問題の座標をグラフで表すと下の図のようになります。

この図をみれば、単純な三平方の定理の計算で２点の距離が出せると分かると思います。
２点の距離は図の点線部分の辺になりますので、$c=\sqrt{ a^2+b^2 }$ で求めることができます。

（１）の問題
$\sqrt{ 3^2+4^2 }$$=\sqrt{ 25 }$$ =5 $
ですので、２点の距離は「５」ということになります。

（２）の問題
$\sqrt{ 4^2+6^2 }$$=\sqrt{ 52 }$$=2\sqrt{ 13 }$
ですので、２点の距離は「$2\sqrt{ 13 }$」ということになります。

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問題【５】の解答と解説

（１）の問題

問題の図のままでは考えにくいので、下の図のように線を１本書いてみましょう。
※A,Bは説明のために付け足しただけです。

上の図のようにABに線を書き足して、上の直角三角形と下の直角三角形に分けます。
ポイントは、直角の位置を考えて『直角三角形を作る』という事です。

上の三角形は１辺の長さしか分かりませんので、下の三角形でABの長さを求めてから $ x $ にたどり着くようにします。

下の直角三角形の計算
$AB=\sqrt{ 6^2+6^2 }$
$AB=\sqrt{ 72 }$
※$AB=6\sqrt{ 2 }$まで計算しても良いのですが、ABの長さは計算の途中で出た数字なので、$\sqrt{ 72 }$ のままでもOK！この数字が答えになるような場合には、$6\sqrt{ 2 }$まで計算しておきましょう！

上の直角三角形の計算
ABは斜辺なので、
$x=\sqrt{ \sqrt{ 72 }^2-8^2 }$
$x=\sqrt{ 8 }$
$x=2\sqrt{ 2 }$

解答 $ x=2\sqrt{ 2 } $ cm

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（２）の問題

（２）も下の図のように直角三角形を作っていきましょう。

この問題は直線DEを書くだけで、基本的な三平方の定理の問題になります。

DE＝８cm，EC＝４cm ですので、
$x=\sqrt{ 8^2+4^2 }$
$x=\sqrt{ 64+16 }$
$x=\sqrt{ 80 }$
$x=4\sqrt{ 5 }$

解答 $ x=4\sqrt{ 5 } $ cm

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三平方の定理 解説まとめ

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